Determinante "positivo"
Salve ragazzi, sono una matricola del corso di laurea di fisica, e mi sto concentrando nello studio di algebra lineare e geometria.
Da completo principiante su questi argomenti, vorrei porvi una domanda che potrebbe anche sembrare stupida ai vostri occhi(spero di no
).
La nostra professoressa, quasi al termine del capitolo sulle matrici, ci ha parlato di alcuni insiemi particolari di esse, riguardabili come gruppi. Tra quelli elencati figura il cosiddetto "gruppo lineare generale", da lei denotato con "GL(n,K)", cioè il gruppo delle matrici quadrate di ordine n(a coefficienti in un generico campo K) tali che il loro determinante non coincide mai con lo scalare nullo(cioè quelle invertibili). Fin qui ci siamo.
Ha parlato poi di un certo sottoinsieme di GL(n,K) denotato da lei con "GL+(n,K)", ovvero l'insieme delle matrici quadrate nxn tali che il loro DETERMINANTE è POSITIVO. Ha scritto così: GL+(n,K)={A appartenente all'insieme delle matrici quadrate nxn a coefficienti in K|det(A)>0}
Ora mi chiedo: ma se det(A) appartiene al campo generico K(che -non dovrei sbagliarmi- non è garantito che sia un insieme ordinato), come caspita fa ad essere definito tramite la relazione d'ordine ">"?
Non avrebbe dovuto specificare che l'unico campo in cui ha senso scrivere "det(A)>0" è il campo dei numeri reali(o, se si vuole, anche il suo "sottocampo" Q dei numeri razionali)?
Oppure in un qualsiasi campo K si può scrivere che un suo generico scalare λ sia maggiore o minore dello scalare nullo? Se sì, potreste spiegarmi il motivo?
Se avete voglia e tempo di essermi d'ulteriore aiuto, vi propongo altre mie domande:
1)Nello studio dei sistemi lineari abbiamo dimostrato un teorema che afferma che se il numero m delle equazioni è minore del numero n delle incognite e se il rango della matrice dei coefficienti di ogni incognita(definita da lei "matrice incompleta") è pari al numero m delle equazioni, allora esistono "infinito^(n-m)" soluzioni che dipendono da "n-m" parametri(che variano liberamente nel campo dei coefficienti). Ok, fin qui tutto bene. Vorrei capire: se il campo avesse un numero finito di elementi(cardinalità finita), i parametri non assumerebbero(anche se liberamente) un numero finito di valori, e quindi non farebbero diventare lo stesso numero delle soluzioni finito?
Non vorrei dire una grande cavolata, ma rischio: può c'entrare la cosiddetta "caratteristica del campo" in questa questione?
2)Sia A una generica matrice ad m righe ed n colonne. Abbiamo dato per vero il fatto che il rango di questa matrice è un certo naturale r se e solo se esiste un minore di ordine r diverso da zero(dove per minore si intende il determinante della rispettiva sottomatrice di ordine r) e ogni minore di ordine q maggiore o uguale a r+1 è nullo(cioè tutte le possibili sottomatrici di A di ordine "superiore" ad r hanno determinante nullo). Mi chiedo: questa sottomatrice di ordine r di determinante non nullo è o non è la sottomatrice quadrata che INTERSECA PROPRIO LE COLONNE E LE RIGHE LINEARMENTE INDIPENDENTI?
3)Si può dimostrare razionalmente che se due o più vettori di un generico spazio vettoriale sono linearmente dipendenti, allora almeno uno di essi è una combinazione lineare dei restanti(sperando che ciò che ho detto non sia un'empietà)?
Vi ringrazio in anticipo.
Da completo principiante su questi argomenti, vorrei porvi una domanda che potrebbe anche sembrare stupida ai vostri occhi(spero di no
).La nostra professoressa, quasi al termine del capitolo sulle matrici, ci ha parlato di alcuni insiemi particolari di esse, riguardabili come gruppi. Tra quelli elencati figura il cosiddetto "gruppo lineare generale", da lei denotato con "GL(n,K)", cioè il gruppo delle matrici quadrate di ordine n(a coefficienti in un generico campo K) tali che il loro determinante non coincide mai con lo scalare nullo(cioè quelle invertibili). Fin qui ci siamo.
Ha parlato poi di un certo sottoinsieme di GL(n,K) denotato da lei con "GL+(n,K)", ovvero l'insieme delle matrici quadrate nxn tali che il loro DETERMINANTE è POSITIVO. Ha scritto così: GL+(n,K)={A appartenente all'insieme delle matrici quadrate nxn a coefficienti in K|det(A)>0}
Ora mi chiedo: ma se det(A) appartiene al campo generico K(che -non dovrei sbagliarmi- non è garantito che sia un insieme ordinato), come caspita fa ad essere definito tramite la relazione d'ordine ">"?
Non avrebbe dovuto specificare che l'unico campo in cui ha senso scrivere "det(A)>0" è il campo dei numeri reali(o, se si vuole, anche il suo "sottocampo" Q dei numeri razionali)?
Oppure in un qualsiasi campo K si può scrivere che un suo generico scalare λ sia maggiore o minore dello scalare nullo? Se sì, potreste spiegarmi il motivo?
Se avete voglia e tempo di essermi d'ulteriore aiuto, vi propongo altre mie domande:
1)Nello studio dei sistemi lineari abbiamo dimostrato un teorema che afferma che se il numero m delle equazioni è minore del numero n delle incognite e se il rango della matrice dei coefficienti di ogni incognita(definita da lei "matrice incompleta") è pari al numero m delle equazioni, allora esistono "infinito^(n-m)" soluzioni che dipendono da "n-m" parametri(che variano liberamente nel campo dei coefficienti). Ok, fin qui tutto bene. Vorrei capire: se il campo avesse un numero finito di elementi(cardinalità finita), i parametri non assumerebbero(anche se liberamente) un numero finito di valori, e quindi non farebbero diventare lo stesso numero delle soluzioni finito?
Non vorrei dire una grande cavolata, ma rischio: può c'entrare la cosiddetta "caratteristica del campo" in questa questione?
2)Sia A una generica matrice ad m righe ed n colonne. Abbiamo dato per vero il fatto che il rango di questa matrice è un certo naturale r se e solo se esiste un minore di ordine r diverso da zero(dove per minore si intende il determinante della rispettiva sottomatrice di ordine r) e ogni minore di ordine q maggiore o uguale a r+1 è nullo(cioè tutte le possibili sottomatrici di A di ordine "superiore" ad r hanno determinante nullo). Mi chiedo: questa sottomatrice di ordine r di determinante non nullo è o non è la sottomatrice quadrata che INTERSECA PROPRIO LE COLONNE E LE RIGHE LINEARMENTE INDIPENDENTI?
3)Si può dimostrare razionalmente che se due o più vettori di un generico spazio vettoriale sono linearmente dipendenti, allora almeno uno di essi è una combinazione lineare dei restanti(sperando che ciò che ho detto non sia un'empietà)?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Rispondo:
Domanda sul determinante positivo. Ha senso se K è un campo ordinato. Probabilmente loro stavano pensando al caso $K = RR$ e si sono dimenticati di specificarlo.
Domanda 1. Sì hai ragione. Quando dici infinito^(n-m) è perché il campo è infinito. Se il campo ha q elementi hai $q^{n-m}$ soluzioni. La caratteristica del campo c'entra nel senso che un campo finito ha un numero di elementi pari a $q = p^k$ dove $p$ è un numero primo che si chiama la caratteristica del campo.
Domanda 2. Sì sì hai ragione. Ma cosa ti cambia?
Ci sono tanti modi di scegliere una possibile sottomatrice con quella proprietà.
Domanda 3. Sì si può dimostrare. Per esempio hai $au+bv+cw=0$ con $a,b,c$ non tutti nulli. Per esempio $a ne 0$. Allora dividendo per $a$ ottieni $u = -(b/a)v-(c/a)w$. Hai espresso $u$ come combinazione lineare di $v$ e $w$. L'argomento si generalizza a un numero qualsiasi di vettori.
Domanda sul determinante positivo. Ha senso se K è un campo ordinato. Probabilmente loro stavano pensando al caso $K = RR$ e si sono dimenticati di specificarlo.
Domanda 1. Sì hai ragione. Quando dici infinito^(n-m) è perché il campo è infinito. Se il campo ha q elementi hai $q^{n-m}$ soluzioni. La caratteristica del campo c'entra nel senso che un campo finito ha un numero di elementi pari a $q = p^k$ dove $p$ è un numero primo che si chiama la caratteristica del campo.
Domanda 2. Sì sì hai ragione. Ma cosa ti cambia?
Ci sono tanti modi di scegliere una possibile sottomatrice con quella proprietà.Domanda 3. Sì si può dimostrare. Per esempio hai $au+bv+cw=0$ con $a,b,c$ non tutti nulli. Per esempio $a ne 0$. Allora dividendo per $a$ ottieni $u = -(b/a)v-(c/a)w$. Hai espresso $u$ come combinazione lineare di $v$ e $w$. L'argomento si generalizza a un numero qualsiasi di vettori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo