Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti.
Sono nuovo del forum quindi spero di non fare troppe violazioni. Perdonatemi.
Mi viene chiesto di dimostrare che se $ A $ è una matrice $n$ $xx$ $n$ e ha autovalori ${$ $ lambda_1,lambda_2,...lambda_n $ $}$ , allora in generale la matrice $ (alpha I + A) $ ha autovalori ${$ $ lambda_1+alpha,lambda_2+alpha,...lambda_n+alpha $ $}$.
Diciamo che ho provato a risolverlo in questo modo ma non ne vengo fuori con una ...
Salve a tutta la sezione!
Il mio problema consiste nel verificare la definizione di "Aggiunto di un operatore $ hat(A $ )" espresso in forma matriciale che corrisponde alla definizione: $ <phi|Apsi> = <A^(**t)phi|psi> $ ....
a)dove sto usando la notazione bra-ket per i vettori.
b)ove $ A^(**t) $ non è altro che la matrice trasposta coniugata delle matrice $ A $ associata all'operatore $ hat(A)$.
Ora per verificare tale definizione mi sono inventato un vettore Bra ...
Come da titolo vorrei essere sicuro di questa cosa. Considerato S un generico sistema di vettori/matrici/polinomi $ S=(u_1,u_2,u_3) $, la dimensione del sottospazio di $ R^3 $ generato da $ S $ è $ W=L(u_1,u_2,u_3) $ , giusto?
Quindi se per esempio un esercizio mi dà $ S=(u_1=(0,1,2,1),u_2=(1,1,0,0),u_3=(0,1,0,-1),u_4=(1,1,-1-1)) $ e mi chiede di determinare la dimensione di $ L(S) $ , devo calcolare il rango della matrice dei vettori riga $ u_1,u_2,u_3,u_4 $ .
Se invece con la stessa richiesta ho un ...
Ciao ragazzi, il mio professore di algebra in una prova d’esame ha dato il sueguente esercizio, dove veramente non so dove mettere le mani, se potete spiegarmi i vari passaggi per la risoluzione ve ne sarei infinitamente grato.
Nello spazio vettoriale $RR_n[x]$ si consideri il sottoinsieme:
$X={p(x) in RR_n[x] : p'(1)=0}$
dove se $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ allora $p'(x)=a_1+2a_2x+...+na_nx^(n-1)$ è il polinomio derivato di $p(x)$.
1) Stabilire se $X$ è o meno un sottospazio.
2) Per ...
Salve,
Ho problemi a verificare che non esistono 3 vettori indipendenti in $RR^2$. E non saprei nemmeno da dove partite
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie.
Ho trovato questo esercizio, che è interessante in alcuni punti, ma non sono certo di avere colto per bene tutto ciò che dovrei.
Dato un gruppo $A$ abeliano, si consideri la funzione $f_n(a) = a^n$.
1) Dimostrare che $f_n$ è un omomorfismo.
2) Descrivere gli elementi di $ker(f_n)$ e $im(f_n)$.
3) Dare un esempio di gruppo non abeliano $G$ e un intero positivo $n$ per i quali $f_n = g^n$ non è un omomorfismo.
4) Dato ...
Dati A(a,b,c) e B(d,e,f) sappiamo che la retta si crea utilizzando: X = x + (x1 - x) ecc. ma fa differenza associare ad x la nostra "a" piuttosto che la "d"?
Sto eseguendo degli esercizi e a volte trovo i valori del risultato diversi dai miei a causa di questo problema, pero' i risultati mi sembrano corretti (le rette sono incidenti o sghembe quando devono esserlo), quindi mi chiedo se sia un puro caso ed esista un criterio per decidere quale tra "a" e "b" vada attribuita alla x oppure non fa ...
Salve ancora
Ho questi sottospazi
\( U=\{p(x)\in R_3[t]|p(x) = x^3p(\frac{1}{x}) \} \)
\( W=\{p(x)\in R_3[t]|p(x) = p(-x) \} \)
devo trovarne le basi
Comincio da U
\( p(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \)
\( a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3 = x^3(a_0+a_1\frac{1}{x} + a_2\frac{1}{x^2}+a_3\frac{1}{x^3}) \)
\( a_0(1 - x^3)+a_1(x-x^2)+a_2(x^2-x)a_3(x^3-1)=0 \)
quindi il nostro p(x) può essere scritto come combinazione lineare di
\( \{(1 - x^3),(x-x^2)\} \)
giusto?
Passando a W e ...
2 4 4 | 4
1 0 -1 | 1
-1 3 4 | 3
io prima di tutto sottraggo alla seconda riga un mezzo della prima e sommo sempre un mezzo della prima alla terza
poi sommo 5*seconda riga al doppio della terza ma ottengo questo sistema che da un risultato diverso da quello del libro:
x + 2y + 2z = 2
-2y -3z = -1
-3z = 4
Buongiorno a tutti, ho un problema nel risolvere questa matrice. L'esercizio mi chiede di stabilire i valori del parametro reale h per i quali la matrice $ ( ( 3 , h ),( 1 , 1 ) ) $ non ammette autovalori reali. Io ho provato a trovare normalmente gli autovalori della matrice e poi sono andato a sostituirli ma senza successo. Qualcuno può dirmi come risolverlo? Grazie in anticipo
ciao, nell'intento di mettermi alla prova, ho "inventato" un esercizio: mi è servito a fare degli errori, ripararli capendo meglio, ma il risultato finale non è corretto e chissà quanti altri errori ci sono prima del risultato;
chiedo a voi se potete dirmi in cosa sbaglio. grazie anticipatamente.
Ecco l'esercizio:
sia $ f: R^3 rarr R^3 $
sia $ f(x,y,k) = (x+y, y, x+k) $ cioè (se dico bene): $ (x,y,k) in V $ e $ (x+y,y,x+k) in W $
sia BASE (in e out) : $ [(1,1,2)(0,1,1)(2,1,0)] $ che ho verificato ...
ciao a tutti frequento il politecnico di milano, facoltà di ingegneria elettrica, e tra pochi giorni ho l'esame di analisi1 che sarà principalmente incentrato su algebra lineare.
sto facendo un po' di esercizi ma ho qualche dubbio ...
Testo dell'esercizio:
Data l’applicazione lineare T : $R^3$ →$ R^3$ la cui matrice, rispetto alle base canonica di $R^3$ , è:
A=$((3,2,1),(-3,-2,h+1),(6,4,2))$
determinare una base di nucleo e immagine di T al variare di h in R;
la mia ...
Ciao - sono una neofita autodidatta con le idee molto molto confuse.
Qualcuno potrebbe chiarirmi con un disegno il significato di queste asserzioni poste in un esempio ?
Eccolo:
Sia V il piano di R3 di equazione x+y+z=0 con base (-1,1,0), (-1,0,1).
Allora: x( (-y-z , y, z ) ) = [y, z]
Ho capito solo che con i coefficienti y e z applicati alla base data ottengo il vettore (-y-z , y , z).
Ma è come se stessi facendo un "gioco" (le cui regole potrei dimenticare appena affronto un ...
come passo da questa equazione parametrica:
t: x = 1+2t
y = 3
z = 1
all'equazione cartesiana?
la soluzione sul libro mi dice che x = 1+2t e' equivalente a x=t e percio' l'equazione diventa solamente y=3 e z=1 ma sinceramente non riesco a capire il perche'
grazie mille in anticipo
Salve a tutti, ho cercato un po' in rete ma non ho trovato una soluzione convincente al mio problema.
Ho una matrice 3x4 contenente un parametro k e devo determinarne il rango al variare del suddetto parametro.
Questa è la mia matrice
\begin{bmatrix}k & 0 & k & k \\ o & k & 2 & 2k \\ 1 & k & k & k\end{bmatrix}
Dunque so che i due metodi per risolvere l'esercizio sono il metodo dei minori orlati e quello di gauss, io dovrei risolverlo con quello dei minori, ma mi trovo in difficoltà non essendo ...
Si considerino le seguenti matrici:
A=[
a-2 0 0
-1 4 a+3
0 -2 0
]
L=[
1 0 0
0 0 1
b 1 0
]
U=[
-1 0 0
0 b 1/2
0 0 -1/2
]
Si stabilisca per quali valori del parametro reale a la matrice A è invertibile. Per a=1 si calcoli lo spettro di A, il suo raggio spettrale e per quale valore di b la matrice C=LU è l'inversa di A. Fissato tale valore di b,motivando la risposta, si dica qual'è lo spettro di C^2, il suo raggio spettrale e il determinante di AC^2.
Ciao a tutti vorrei chiedere dei chiarimenti su questo esercizio riguardante il prodotto scalare,
Sia $ < ,> $ un prodotto scalare in $ mathbb(R^3) $ (non necessariamente definito positivo e non necessariamente non degenere) e si fissi un vettore $ uin mathbb(R^3) $ non nullo:
1) si dimosrtri che $ f:mathbb(R^3|-> mathbb(R^3) ,f(v)=<u,v> $ è un'applicazione lineare e si dia un esempio concreto (cioè una scelta di $ u $ e di $ < ,> $ ) in cui $ f $ è un isomorfismo e un ...
Salve, vorrei chiedere un chiarimento riguardo l'argomento matrici, mi scuso in anticipo se la domanda potrà sembrare banale ma comincio ad avvicinarmi adesso all'algebra lineare volevo chiedere :
Quando mi capita un esercizio in cui mi viene data una matrice quadrata, nel mio caso una 3X3 in cui mi si chiede di trovare la dimensione di arrivo e il nucleo, devo prima svolgere il determinante, dopo a seconda se ottengo una un det diverso da zero o uguale a zero so se c'è dipendenza o meno, e ...
Buonasera,
Ho un esercizio che mi chiede di definire i generatori dei seguenti sottoinsiemi di $V:=mathbb (R)[T]_(<=2)$ e determinare quali siano sottospazi:
(1) $W:={f(t)in[mathbb (R)[T]_(<=2) : f(2)-f(3)+f(4)=0}$
(2) $Z:={f(t)in[mathbb (R)[T]_(<=2) : f(2)-f(3)+f(4)=1}$
Io ho svolto in questo modo:
$f(T)=a+bT+cT^2$
$f(2)=a+2b+4c$
$f(3)=a+3b+9c$
$f(4)=a+4b+16c$
per cui $f(T) in W$
$ hArr f(2)-f(3)+f(4)=0 hArr a+2b+4c-a-3b-9c+a+4b+16c=0 hArr a+3b+11c=0 hArr a=-3b-11c$
Quindi
$W={a+bT+cT^2 : a=-3b-11c}={-3b-11c+bT+cT^2 : b,c in mathbb (R)}=[(T-3)b+(11+T^2)c : b,c in mathbb (R)}$
Quindi $W=mathcal (L)(T-3, 11+T^2)$
Mentre il secondo esercizio viene
$Z={1+(T-3)b+(11+T^2)c : b,c in mathbb (R)}$ e ...
Su $V=R^4$ è data la forma quadratica:
$PHI(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2-x_2^2+8x_2x_3+x_3^2$
Detta $phi$ la forma bilineare simmetrica a cui $PHI$ è associata, determinare una base $phi$ coniugata di V (usando il procedimento del teorema di Lagrange).
A me la matrice di PHI, e quindi di $phi$, risulta:
1 1 0 0
1 -1 4 0
0 4 1 0
0 0 0 0
I cui autovalori sono: 0,1,4,-4
Ora come uso lagrange?
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