Somma diretta
Salve ho un dubbio:
sia $H$ un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione $ 3$.Sia $v\in RR^4$ un vettore linearmente indipendente tale che $v\notin H$. Allora $RR^4=H\oplus Span(v)$.
Ho ragionato cosi':
ho trovato che $H\cap Span(v) ={0}$
Dunque per la Formula di Grassmann:
$dim(H+Span(v))=dimH+dimSpan(V)=4$
e dunque posso dire che $RR^4\cong H+Span(v)$.
So che evidentemente: $RR^4\supset H+Span(v)$ ed essendo isomorfi concludo che sono uguali.
Ecco, il mio dubbio è questo:posso concludere così, è sufficiente o devo dire qualcos'altro ?
Grazie.
sia $H$ un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione $ 3$.Sia $v\in RR^4$ un vettore linearmente indipendente tale che $v\notin H$. Allora $RR^4=H\oplus Span(v)$.
Ho ragionato cosi':
ho trovato che $H\cap Span(v) ={0}$
Dunque per la Formula di Grassmann:
$dim(H+Span(v))=dimH+dimSpan(V)=4$
e dunque posso dire che $RR^4\cong H+Span(v)$.
So che evidentemente: $RR^4\supset H+Span(v)$ ed essendo isomorfi concludo che sono uguali.
Ecco, il mio dubbio è questo:posso concludere così, è sufficiente o devo dire qualcos'altro ?
Grazie.
Risposte
somma diretta significa che generano tutto lo spazio ambiente senza avere elementi in comune
Dunque?
La loro intersezione è il vettore nullo e la somma delle loro dimensioni vale $4$, è sufficiente ler concludere.
Comunque "vettore linearmente indipendente" non significa nulla.
Comunque "vettore linearmente indipendente" non significa nulla.
invece significa.
Significa che esso non è il vettor nullo
Significa che esso non è il vettor nullo
Se fosse il vettore nullo allora $v in H$
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