Sistemi,matrici,vettori
Qualcuno potrebbe gentilmente, spiegarmi in parole semplici la differenza tra il trovare un vettore ortogonale e il trovare uno spazio ortogonale ad un dato vettore per esempio u=(1,1) ????
Risposte
Un vettore è "1 vettore", uno spazio è un insieme di vettori.
Nel caso in cui devo cercare un vettore w che sia ortogonale a v vado a utilizzare la definizione per cui se w e v sono perpendicolare il valore del coseno è nullo, quindi moltiplico v=(1;1) x w=(x;y) e ottengo uno scalare quale x+y=0 e scrivo che Y=-x quindi avrò v=(x;-x), è giusto?
Mentre non ho ben capito cosa si intende per cercare uno spazio ortogonale, o meglio come si fa a trovarlo.
Mi sto avvicinando da poco all'algebra lineare e concettualmente non è per niente banale :/
Mentre non ho ben capito cosa si intende per cercare uno spazio ortogonale, o meglio come si fa a trovarlo.
Mi sto avvicinando da poco all'algebra lineare e concettualmente non è per niente banale :/
Mmh, prima di inoltrarmi, ti chiedo, sai cos'è uno spazio vettoriale? Sai come si risolve un sistema lineare? Senza questi concetti non si può andare avanti, se li sai allora ti posso anche spiegare come si fa, se no dovrai rivederli.
Si penso di si, la parte di algebra lineare che ho studiato riguarda le matrici e quindi le operazioni legate ad esse e il determinante, poi l'utilizzo delle matrici nella risoluzione dei sistemi lineari omogenei e non, quindi penso di aver capito cosa si intende per spazio delle soluzioni.
Te ne sarei infinitamente grata se me lo spiegassi :') perché diciamo che gli argomenti li ho fatti ma dovrei fare un po' di ordine.
Te ne sarei infinitamente grata se me lo spiegassi :') perché diciamo che gli argomenti li ho fatti ma dovrei fare un po' di ordine.
Considera un generico spazio vettoriale $V$, e sia W un suo sottospazio, si dice spazio ortogonale di $W$ e si indica con $W^(_|_)$, l'insieme dei vettori di $V$ che sono ortogonali a ogni vettore di W, ossia ogni vettore di $W^(_|_)$ è ortogonale a ogni vettore di W, in formule:
$W^(_|_)={v in V | v*w=0, AA w in W }$
Si può dimostrare che tale insieme è anche uno sottospazio vettoriale, pertanto è corretto chiamarlo spazio ortogonale.
Quindi, se abbiamo un certo sottospazio vettoriale $W$, e bisogna trovare il suo ortogonale $W^(_|_)$, bisogna cercare i vettori $x$ tali che $x*w=0$, ossia i vettori $x$ tali che il prodotto scalare tra gli $x$ e qualsiasi vettore di $W$ valga $0$...ma i vettori di W sono potenzialmente infiniti e quindi bisognerebbe fare infiniti prodotti scalare per verificare che i nostri x siano ortogonali a ogni w, ricordandoci però che ogni vettore di W è combinazione lineare di una sua base, e ricordandoci delle proprietà del prodotto scalare, si può arrivare a dedurre che il prodotto scalare tra ogni x che si cerca e ogni $w in W$ è zero se e solo se è zero il prodotto scalare tra ogni nostro $x$ e ogni vettore di una base di $W$.
Quindi, il succo è:
Dato uno sottospazio vettoriale i cui vettori di una base sono $(v_1,v_2,...,v_m)$, si cercano i vettori $x$ tali che
${ ( x*v_1=0 ),( x*v_2=0 ), (...),( x*v_m=0 ):}$
E quali sono quindi queste $x$?, non sono altro che lo spazio delle soluzioni del sistema lineare che ha per vettori coefficienti i vettori della base di $W$
Nel tuo caso, hai il vettore $(1,1)$, per trovare i vettori perpendicolari a esso, devi risolvere il seguente sistema:
$(x,y)*(1,1,)=0$
Ossia:
$x+y=0$
Lo spazio delle soluzioni di questo sistema è $x=-y$, ossia tutti i vettori del tipo $(-t,t)$
$(-t,t)$ è lo spazio ortogonale al vettore $(1,1)$, un qualsiasi vettore ortogonale a $(1,1)$ si ottiene pertanto assegnando un qualsiasi vale a $t$.
$W^(_|_)={v in V | v*w=0, AA w in W }$
Si può dimostrare che tale insieme è anche uno sottospazio vettoriale, pertanto è corretto chiamarlo spazio ortogonale.
Quindi, se abbiamo un certo sottospazio vettoriale $W$, e bisogna trovare il suo ortogonale $W^(_|_)$, bisogna cercare i vettori $x$ tali che $x*w=0$, ossia i vettori $x$ tali che il prodotto scalare tra gli $x$ e qualsiasi vettore di $W$ valga $0$...ma i vettori di W sono potenzialmente infiniti e quindi bisognerebbe fare infiniti prodotti scalare per verificare che i nostri x siano ortogonali a ogni w, ricordandoci però che ogni vettore di W è combinazione lineare di una sua base, e ricordandoci delle proprietà del prodotto scalare, si può arrivare a dedurre che il prodotto scalare tra ogni x che si cerca e ogni $w in W$ è zero se e solo se è zero il prodotto scalare tra ogni nostro $x$ e ogni vettore di una base di $W$.
Quindi, il succo è:
Dato uno sottospazio vettoriale i cui vettori di una base sono $(v_1,v_2,...,v_m)$, si cercano i vettori $x$ tali che
${ ( x*v_1=0 ),( x*v_2=0 ), (...),( x*v_m=0 ):}$
E quali sono quindi queste $x$?, non sono altro che lo spazio delle soluzioni del sistema lineare che ha per vettori coefficienti i vettori della base di $W$
Nel tuo caso, hai il vettore $(1,1)$, per trovare i vettori perpendicolari a esso, devi risolvere il seguente sistema:
$(x,y)*(1,1,)=0$
Ossia:
$x+y=0$
Lo spazio delle soluzioni di questo sistema è $x=-y$, ossia tutti i vettori del tipo $(-t,t)$
$(-t,t)$ è lo spazio ortogonale al vettore $(1,1)$, un qualsiasi vettore ortogonale a $(1,1)$ si ottiene pertanto assegnando un qualsiasi vale a $t$.
Ricordo che lo spazio ortogonale a $(1,1)$ trovato è ortogonale a ogni vettore che è combinazione lineare di $(1,1)$, per quanto detto prima, pertanto quello spazio non è ortogonale solo a $(1,1)$ ma è ortogonale a ogni vettore del tipo $(k,k)$
Spero di essere stato sufficientemente chiaro 
Ma io ti amooo ahah 
Sei stato chiarissimo, migliore di qualsiasi spiegazione trovata fino adesso, quello che mi hai detto in realtà l'ho fatto solo che mi veniva un po' meccanico, ora invece ho capito i motivi per cui è così!! Grazie mille davvero.
Sei stato chiarissimo, migliore di qualsiasi spiegazione trovata fino adesso, quello che mi hai detto in realtà l'ho fatto solo che mi veniva un po' meccanico, ora invece ho capito i motivi per cui è così!! Grazie mille davvero.
Prego 
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