Base per il nucelo

[_Daniele_]

Sia data la matrice $ A =( ( 1 , -2 , 0 ),( 2 , -4 , 0 ),( -4 , 8 , 0 ) ) $ . Detto $ f $ l'endomorfismo la cui matrice matrice rappresentativa rispetto alla base canonica è A, determina una base del nucleo di $ f $.

Dunque, riducendo a scalini si vede che il rango della matrice è 1, quindi avrà una sola base formata da $ (2,1,0) $ . Però nelle soluzioni c'è anche un'altra base: $ (0,0,1) $ . Perché?
Grazie mille.

[billyballo2123]

Se il rango della matrice è 1, cioè che puoi dedurre è che la dimensione di $Im(f)=1$, e di conseguenza dato che deve essere $dim(Ker(f))+dim(Im(f))=3$, deduci che $dim(Ker(f))=2$.

Precisiamo una cosa: la frase "quindi avrà una sola base formata da $(2,1,0)$" non ha senso. Semmai "avrà una base formata solo dal vettore $(2,1,0)$". Comunque abbiamo visto che $Ker(f)$ ha dimensione 2, quindi una sua qualunque base sarà formata da 2 vettori.

Riducendo a scala otteniamo
\[
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\]
dunque ponendo $y=s$ e $z=t$ (e quindi $x=2s$) otteniamo
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=s

\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix},
\]
dunque una base di $Ker(f)$ è
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\right\}.
\]

[_Daniele_]

Grazie, soprattutto per la precisazione.