Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Mi viene data l'equazione di $V\in \RR^3$ $x-2y+3z=0$ e mi si chiede dopo aver trovato la base di $V^\bot$, di dire se esiste un sottospazio $U!=V^\bot$ in modo da avere $U$ e $V$ in somma diretta.
Come lo faccio a dimostrarlo?
Io ho trovato la base di V $B_V={((2),(1),(0)), ((-3),(0),(1))}$ e quindi la base ortogonale è per definizione $V^\bot=<w,v_1> =<w,v_2> =0$ dove $w \in \RR^3$ è un vettore qualunque e $v_1, v_2$ sono i due vettori che compongono la base ...
Salve, volevo sapere se lo svolgimento del seguente esercizio è corretto:
"Dato l'endomorfismo $f : RR^4 \to RR^4, f(x,y,z,t) = (9x + 6y, 6x + 4y, -2x + 3y + 13z + t, 10t)$, determinare la controimmagine del vettore $\vec v = (1, h-4, 0, 2h)$ al variare del parametro $h$."
Per prima cosa ho scritto la matrice associata all'applicazione lineare:
$A = ((9,6,0,0),(6,4,0,0),(-2,3,13,1),(0,0,0,10))$. Si avrà che $\vec v = Af^-1 (\vec v)$. Scopro che la matrice A ha le prime due righe linearmente dipendenti, quindi $rk(A) = 3$ e quindi ottengo la matrice completa $(A|\vec v) = ((6,0,0,1),(4,0,0,h-4),(3,13,1,0),(0,0,10,2h))$ (ho ...
Salve a tutti, come trovo la retta ortogonale ad r1 ed r2 ed incidente s1 ed s2?
Lascio le equazioni delle rette nello spoiler, ma mi servirebbe più che altro capire come impostare l'esercizio.
Per prima cosa controllo la posizione reciproca delle rette, e poi come procedo?
r1: ${ ( z=2x-2 ),( y=3x-3 ):}$
r2: ${ ( 2z-3x-3=0 ),( 2y-z=0 ):}$
s1: ${ ( z=1 ),( y=-1 ):}$
s2: ${ ( x=2 ),( z=0):}$
Buon pomeriggio qualcuno saprebbe aiutarmi? ho queste due rette e devo calcolarne la perpendicolarità.
$ r':{ ( x=1-t' ),( y=2-t' ),( z=-t' ):} $ $ ;r''{ ( bx-y+2=0 ),( x+y-2z+1=0 ):} $
Ho calcolato le direzioni delle due rette, $ vr'=(1,-1,-1) $ e $ vr''=(1,1+2b,1+b) $
Ho calcolato un qualsiasi punto sulle due ratte, $ Pr'=(1,2,0) $ (ho posto t=0) e $ Pr''=(0,2,3/2) $ (ponendo x=0)
Ho scritto dunque la matrice $ ( ( 1 , 0 , -3/2 ),(1 , -1 , -1 ),( 1 , (1+2b) ,(1+b) ) ) $ quindi mi sono trovato $ det(A)=b+3/2 $
dunque per $ b!=-3/2 $ le due rette sono sghembe e ...
Salve a tutti, mi sono trovato davanti ad un esercizio di geometria nello spazio in cui ho bisogno di conoscere il vettore direttore di una data retta r. Il problema è che se lo calcolo con la tecnica dei minori (poichè r mi è data in forma cartesiana) il vettore risulta essere (0,0,-1) . Se invece passo alle parametriche risulta essere (0,0,1) e non riesco a capire il perchè!! Sarei grato se mi poteste illuminare, la retta è descritta dalle equazioni y=2,x-y=0
Se ho le equazioni cartesiane di piano e retta, per vedere se sono paralleli basta che controlli che il prodotto scalare dei direttori è diverso da zero?
Perchè la condizione di ortogonalità si ha quando il prodotto scalare è nullo.
Salve a tutti, sono nuovo del furum e spero di postare bene l'argometo, dal testo:
Dati tre pinti A, B, C, verifivare che AB$ ^^ $AC = BA$ ^^ $BC = CA$ ^^ $CB.
Ho dei dubbi sul mio procedimento per la risoluzione del problema.
Dopo aver assegnando un una base {i,j} e delle coordinate arbitraria ai punti A(1,2); B(3,4); C(5,6); ho calcolato i vettori
AB = 2i+2j
AC = 4i+4j
AB$ ^^ $AC = (2i$ \cdot $4j) + (4j$ \cdot $2i) = 8k-8k = ...
Salve, mi servirebbe un chiarimento per quanto riguarda la diagonalizzazione delle forme quadratiche. Quando utilizzo l'algoritmo di Gram-Schimdt non ho ben chiaro quali vettori utilizzare.
Ad esempio un esercizio mi chiedeva di diagonalizzare la seguente forma quadratica:
$Q(x)=x_1^2-2x_1x_2+x_1x_3$
Quali sono i vettori da usare nell'algoritmo? I vettori della matrice associata o quelli della base canonica?
Ciao a tutti, un esercizio mi chiede di completare una matrice rispettando questi vincoli:
- La matrice deve essere simmetrica;
- L'ultima riga deve essere: $ (-2,-6,4) $;
- Il rango della matrice deve essere 1.
Quindi riesco a scrivere: $ ( ( a ,b , -2 ),( b , e , -6 ),( -2 , -6 , 4 ) ) $
Il fattore $ b $ lo ho messo due volte per indicare che in quella posizione si avrà lo stesso numero (perchè la matrice dovrà essere simmetrica).
Poi ho provato a calcolare il determinante per vedere se riuscivo a far ...
Ciao a tutti sto cercando di risolvere questo esercizio dell herstein:
Sia G il gruppo dei numeri reali rispetto all addizione e sia N il sottogruppo di G costituito da tutti gli interi.
Dimostrare che G/N è isomorfo al gruppo C dei numeri complessi di valore assoluto 1 rispetto alla moltiplicazione.
Il punto in cui trovo difficoltà è riuscire a trovare un omomorfismo da G a C con nucleo N perchè cosi facendo riuscirei a dimostrare l isomorfismo richiesto dall esercizio, voi avete qualche idea ...
Ho due endomorfismi unitari f e g che commutano. Come dimostrare che sono diagonalizzabili simultaneamente?
Per il teorema spettrale per endomorfismi unitari esiste una base ortonormale di autovettori tale per cui la matrice associata all'endomorfismo sia diagonale. Ho letto da precedenti discussioni sul forum che le condizioni sufficienti sono che gli endomorfismi commutino e che siano diagonalizzabili, ma non mi è molto chiara la dimostrazione.
CIao ho un problema il punto a dell'esercizio:
Se non ho capito male mi chiedono di calcolare la matrice B che ha come base di partenza la canonica (come la matrice A) e come base di arrivo sempre la base canonica (mentre nella matrice A la base di arrivo era un'altra).
Quindi la matrice B da calcolare ha solo il codominio diverso dalla matrice A.
Devo utilizzare questa formula di cambiamento di base? $ -> $ $ B_(ee)=X*A $ dove con $ X $ indico la matrice che ha ...
Ho due endomorfismi f e g che commutano (f◦g = g◦f), e Aut(λ) un autospazio di f. Come posso dimostrare che g(Aut(λ))⊂Aut(λ)?
Ciao a tutti,qualcuno mi aiuterebbe su questo esercizio? (non capisco proprio cosa bisogna fare )
Mi è chiesto di determinare in base al parametro per cui risulta r' perpendicolare ad r'' i piani $ pi,pi',pi'' $ contenenti rispettivamente il punto A,la retta r',la retta r'' e paralleli ad entrambe le rette.
Le rette sono $ r':{ ( x=1+t ),( y=2-t ),( z=-t ):} $ e $ r'':{ ( x+by-z+1=0 ),( x+z=0 ):} $
Ho trovato il valore del parametro b per il quale le due rette sono parallele imponendo il prodotto scalare tra le due ...
Salve, ho questo esercizio di geometria sulle coniche:
Data la seguente parabola:
$\gamma: 4x^2 -4xy +y^2 -y=0$
Determinare:
i)Vertice
ii)Asse
iii)Forma canonica.
Trovo problemi per quanto riguardano i primi due punti, non riesco a determinare vertice e asse.
Ciao a tutti , ho riscontrato un problema riguardante le congruenze lineari , potreste dirmi come devo comportarmi in questa situazione è sbagliato il metodo?
(scusate ma non sono riuscito a ruotare l'immagine)
Salve vorrei un aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
In R3 sono dati i seguenti vettori rispetto alla base canonica: $v_1 = (1,2,0)$,$v_2 = (1,0,1)$,$v_3 = (−1,0,−2)$.
Sia $B = {v1,v2,v3}$ e $C$ la base canonica.
Si consideri il seguente endomorfismo $f$ di $RR^3->RR^3$ tale che:
$f(v_1) = v_1 + v_2$
$f(v_2) = 2v_1 −v_2 $
$f(v3) = −v_2 + v_3$
Si determini:
i) La matrice $M_(BB) (f)$ e la matrice $M_(C C) (f)$ (3 punti);
ii) Una base del ...
Ciao a tutti, ho delle difficoltà a capire come scrivere la matrice associata ad un'applicazione lineare. Posto un esercizio così da poter capire meglio:
Dati tre vettori $ v1=(0,2,1) $, $ v2=(1,1,-1) $, $ v3=(-1,1,0) $ e $ f:R^3->R^3 $ un'applicazione lineare tale che: $ f(v1) = 3v1 $, $ f(v2) = v2 $ e $ f(v3) = v3-2v2 $, scrivere la matrice di f rispetto alla base canonica.
Ora scrivo la matrice di f rispetto alla base $ [v1,v2,v3] $ e trovo la matrice: ...
Se ho due matrici quadrate A, B con $t_1$ autovalore di A e $t_2$ autovalore di B e se i i sottospazi $ker(A-t_1I_n)$ e $ker(B-t_2I_n)$ non sono in somma diretta, come faccio a dimostrare che $t_1t_2$ è autovalore di AB?
Data : $alpha(t)=(cost,2sint)$
calcolare nel punto : $alpha(pi/4)$
la retta normale.
Per calcolare la retta devo sostituire in $alpha(t)$ il valore $t=pi/4$ , derivare la curva $alpha^{\prime}(t)$ e sostituire con lo stesso valore $t=pi/4$ e poi scrivere :
${ ( x=x_0+x^{\prime}t ),( y = y_0 + y^{\prime}t ):}$
dove con x0 e yo intendo i valori calcolati su $alpha(t)$ mentre per x' e y' i valori di $alpha^{\prime}(t)$
Corretto oppure non si calcola in questo modo?
Grazie ragazzi.
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