Vettore isotropo?

[MementoMori2]

Salve ragazzi, sto risolvendo un esercizio in cui la forma quadratica è :

$ Q(x) = −2x1x3 − 2x2x3 $

e nell' ultimo punto mi richiede : Determinare l’insieme I dei vettori isotropi di Q. I e un sottospazio vettoriale di V3?

La risposta è no e come giustificazione mi riporta:

I = {x = x1i + x2j + x3k ∈ V3 | x3(x1 + x2) = 0}.
Si tratta dell’unione di due sottospazi vettoriali distinti, quindi I non e un sottospazio vetto- `
riale (per esempio la somma dei due vettori isotropi (1, −1, 5) e (1, 1, 0) e il vettore ` (2, 0, 5)
che nonappartiene a I).

Ciò è corretto ma se io scrivessi I come unione di $ (1,-1,0) $ e $ (0,0,1) $ , l'unione di questi due sottospazi vettoriali sarebbe un sottospazio vettoriale, perché?

[Gi81]

E' una proprietà generale: l'unione di due sottospazi distinti non è un sottospazio
Questo perché non è chiuso rispetto alla somma.

Nel tuo caso, chiamati $U:= \text{Span}{(1,-1,0)}$ e $V:=\text{Span}{(0,0,1)}$,
$U uu V$ non è sottospazio vettoriale, perchè $(1,-1,1) = (1,-1,0)+(0,0,1)$ non appartiene ad $U uu V$