Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno, sto studiando geometria, più in particolare la parte di topologia, e leggendo gli appunti mi è sorto un dubbio su un esempio che che c'ha fatto il professore sul fatto che non è detto che un aperto nella topologia indotta, sia aperto anche nella topologia "originale". Ma la definizione che c'ha dato lui è questa: Ts(top. indotta)={AintersecatoS t.c. A appartiene a T(topologia "originale"}. Ora, visto che A è un'aperto in T, e che sta nella definizione che deve essere aperto in T per ...
Ciao a tutti!
Ho una domanda a cui non riesco a dare una risposta che proprio mi tormenta.
Supponiamo di avere un sottospazio \(\displaystyle U < V \) di base \(\displaystyle u_1,...,u_m \) qualsialsi.
Sia \(\displaystyle v \in V \). Voglio calcolare \(\displaystyle proj_U(v) \).
Bene, ora io so come svolgere questo semplice esercizio e che ci sono varie vie per farlo, ma non capisco perchè se la base non è ortogonale non posso applicare la formula
\(\displaystyle proj_U(v) = proj_{u_1}(v) ...
considerando un'applicazione lineare che ha matrice associata rispetto una base di autovalori $lambda_1,...,lambda_n$ la matrice diagonale $D$ con sulla diagonale principale gli autovalori di f , sia m il numero di volte che si ripete $lambda$ sulla diagonale principale di $D$
il polinomio caratteristico di f è $P(lambda)=det(D-lambdaI)=(lambda_1-lamda)^(m_(lambda_1)) * (lambda_2-lamda)^(m_(lambda_2)) * ..... * (lambda_n-lamda)^(m_(lambda_n))$
perchè segue che ogni radice del polinomio caratteristico é reale?
Ps: è parte della dimostrazione dell implicazione : f è ...
Buongiorno a tutti,
ho trovato un problema secondo me molto interessante fra le vecchie prove della Normale (1982-3 n.5).
Dati un piano $\alpha$ e due punti P e Q che si trovino nello stesso semispazio, determinare il luogo dei punti di tangenza tra il piano e le sfere passanti dai punti dati.
(Si esamini prima il caso dei punti appartenenti ad una retta perpendicolare al piano).
Ho pensato, quindi, che se i punti appartengono alla retta perpendicolare al piano le sfere avranno tutte ...
Salve
Scrivo per chiedervi aiuto in merito all'argomento del titolo, in particolare mi ritrovo a dover svolgere due esercizi , il primo che mi lascia qualche dubbio e il secondo che proprio non so affrontare
Il primo è il seguente:
Ho uno spazio vettoriale definito come :$ V={A \in M_(2,2) : a_(1,1) + 3a_(2,2) =0}$
Ho due matrici, A $((3,-1),(0,-1))$ e B $((1,1),(1,2))$
Devo completare A e B ad una base di V...(essendo come procedimento simili riporto solo A) io ho pensato di scrivere le matrici come un vettore ...
stabilire per quali valori di $h in R$
$A=((1,0,h),(0,2,0),(h,1,1))$
come si stabilisce?
ho fatto il polinomio caratteristico e viene $(lambda-2)((1-lambda)^2-h^2)=0$
però non saprei come estrarre il valore di h che rende le radici tutte reali, per fare si che A sia diagonalizzabile,
grazie
PS: ho notato che $det(A)!=0$ se $h!=+-1$
e $h!=+-1$ è anche la risposta guista cioè il valore di h che rende A diagonalizzabile, però il determinante di A da solo non mi sembra un criterio di ...
Avrei un problema a dimostrare (o a confutare) che dato uno spazio vettoriale $V$ e un' applicazione lineare $f$, si ha che
$$Ker(f)\oplus Im(f)=V \leftrightarrow f^2=f$$
Riesco a dimostrare la freccia verso sinistra, vedendo che $ \forall v\in V$, $ v=f(v)+ (v-f(v))$, con $f(v)\in Im(f)$ e $v-f(v)\in Ker(f)$ e facendo un discorso dimensionale, ma non riesco a dimostrare (o confutare) la freccia verso destra. Grazie dell' aiuto!
Salve a tutti, ho una curiosità su quest'esercizio:
Fissato nel piano della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si considerino la retta r : x − 2y − 2 = 0 e il punto A(−1, 1).
(i) Rappresentare la retta s parallela a r e passante per il punto A.
(ii) Determinare la distanza tra A e r.
l'esercizio so farlo in questo modo:
- converto r in forma esplicita: $y=1/2x-1$
- due rette per essere parallele devono avere lo stesso ...
Salve ragazzi, ho questo sistema lineare da risolvere con le matrici e poi discutere i risultati a variare di h e k ma non riesco, ho scambiato la prima e la terza riga e semplificato la seconda e terza riga ma riesco a giungere alla matrice ridotta, grazie
Ciao
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio: siano $f: \mathbb{R^n} -> \mathbb{R^m}$ un'applicazione lineare iniettiva, $g:\mathbb{R^m} \to \mathbb{R^n}$ un'applicazione lineare surgettiva e $E = {h \in End(\mathbb{R^m})| g \circ h \circ f \equiv 0}$. Calcolare la dimensione di $E$.
L'iniettività di $f$ e la surgettività di $g$ ci dicono che $n <= m$.
Se $n = m$ allora $f$ e $g$ sono isomorfismi e quindi $dimE = 0$ in quanto l'unica applicazione tale che ...
Salve a tutti, ho la retta
$s: {(x=1-t),(y=2),(z=t):}$
e il punto $P(1,1,0)$
devo trovare una retta r perpendicolare ad s e passante per il punto P.
Come svolgo questo esercizio?
Ho cercato online ma non trovo nulla di chiaro :/
so che due rette nello spazio sono perpendicolari se e solo se sono tali le loro direzioni, ovvero se il prodotto scalare tra i vettori direttori delle rette è uguale a zero.
Da questa definizione però non so come muovermi..
EDIT: Ho provato a svolgerlo sfruttando la ...
Salve a tutti, dovrei fare quest'esercizio:
Fissato nello spazio della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si considerino la retta r :
${(x − y + z = 1),( x − 2y − z = 0):}$ e il piano $ π : x − y + z + 2 = 0$.
(i) Verificare che r e π sono paralleli e determinare la loro distanza.
(ii) Determinare il piano parallelo a π contenente r.
(iii) Il piano π `e esterno, secante oppure tangente alla sfera S : x^2 + y^2 + z^2 − 2x + 2y + 1 = 0 ?
Il punto (i) l'ho fatto ...
Sia dato l'endomorfismo $f$ di $RR^3$ definito dalle condizioni:
\[ f(1; 0; 1) = (1; 1; 1); \;\;f(1; 1; 0) = (0; 0; 1); \;\;f(0; 1; 0) = (3; 3; 1) \]
Trovare una base di Kerf e dire per quali valori del parametro reale a si ha $f^(-1) (a; 1; 2)$ non vuoto
Come procedo?
Purtroppo nell'esame ci sono sempre esercizi che mi mettono in crisi come nient'altro al mondo
Eccone altri da cui non ne vengo fuori:
(a) Sia W uno spazio vettoriale di dimensione maggiore di uno.
Se per due sottospazi vettoriali U,V di W vale $dimU + dimV < dimW rarr UnnV = {0} $
Dalla soluzione mi viene detto che è falsa. Basta prendere $W = R^3, U = span(e_(1),e_(2)), V = span(e_(1)+e_(2)).$
La base di U non contiene alcun elemento di V, ma $VnnU = W$ che è diverso da zero. (simbolo per "diverso"? )
---> Qua non capisco come ...
Ciao a tutti,
son qui non per chiedere come fare un esercizio, ma se il procedimento che ho usato per risolvere tale esercizio è giusto...
il testo è questo:
Indicare una retta parallela all'asse x ed una retta ortogonale alla retta $x-y+3=0$. Calcolare il punto di intersezione di tali rette.
L'esercizio l'ho fatto e dovrei averlo fatto bene (ho verificato la posizione grafica delle rette con questo sito https://www.desmos.com/calculator proprio per essere sicuro), ma il mio ...
In R4 scrivere le equazioni di 2 iperpiani vettoriali diversi, ma entrambi supplementari della retta vettoriale H=L((2,0,4,3)).
Come risultato da', ad esempio, x+2y-z+t=0 e y+z-t=0.
So che un iperpiano ha dimensione n-1, che la retta ha dimensione 1 e che entrambi sono in somma diretta con intersezione nulla.
Quindi ho n-1+1=n parametri.
Ora come devo ragionare? Basta che trovo un iperpiano avente 4 parametri che non siano uguali alla base?
Grazie
Salve a tutti, questa è la prima volta che scrivo su questo forum e ringrazio chi legge per l'attenzione.
Ho un problema con un esercizio di algebra lineare, argomento "Diagonalizzazione", che non riesco a risolvere.
Il testo dell'esercizio è il seguente.
Sia \(E\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, dove [tex]\mathbb{K}[/tex] è un campo di caratteristica [tex]\neq2[/tex].
Sia [tex]f:E\rightarrow E[/tex] un endomorfismo tale che [tex]f\circ f=Id_E[/tex].
Si ...
Ciao a tutti! Ho due esercizi di stampo teorico che non riesco a risolvere purtroppo Ecco il testo:
"Si consideri $ mathbb(R^4) $ dotato del prodotto scalare usuale. Si dica se le seguenti affermazioni sono sempre vere oppure no fornendo una dimostrazione nel caso in cui siano sempre vere ed un controesempio nel caso in cui non lo siano.
(a) Se $S,T$ sono sottospazi tali che $S$ sia contenuto in $T$ allora $T^_|_$ è contenuto in ...
Buongiorno a tutti, vorrei se possibile un chiarimento sulla definzione di tensore.
Ho letto che un tensore $T$ è una funzione che prende in input $h$ covettori e $k$ vettori e restituisce un numero.
Perchè il tensore $T^{h/k}$ con $h=1$ e $k=0$ rappresenta un vettore mentre per $h=0$ e $k=1$ rappresenta un covettore ? (verrebbe da pensare il contrario).
grazie a tutti
Salve a tutti,
Ho cercato di risolvere questo esercizio in molti modi ma non riesco a dimostrare il parallelismo tra a retta e il piano.
Vi allego la foto, mi auguro riusciate ad aiutarmi.
Grazie a tutti!
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