Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, ho problemi con questo esercizio, anche se intuitivamente è molto semplice, ma non so come procedere con termini formali.
Sia (V, +, ·) un K-spazio vettoriale, e siano 0k lo zero del campo K, e 0v il vettore nullo di V.
(1) Provare che 0k · v = 0v per ogni vettore v di V
(2) Provare che α · 0v = 0v per ogni α di K
Sono abbastanza ovvie, ma come posso dimostrarle con le proprietà degli spazi vettoriali?
Grazie
Salve a tutti! Purtroppo l'esame si avvicina e ho dei forti dubbi riguardanti l'ortogonalità e l'ortonormalità. Praticamente ho lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore di n con base b= \({1,x, x^2,...,n^n}\). Mi si chiede di dimostrare che siano ortogonali a due a due e di dire inoltre se sono ortonormali o meno. Vi sarei grato se mi daste una mano!
Ciao a tutti, l'esercizio che ho da fare è il seguente Dato il piano: 2x-y+z=0 determinare una retta r su pi greco e un punto P non appartenente alla retta r.
Non capisco cosa devo fare, non avendo neanche un punto della retta. In teoria so' che basta verificare che abbiano due punti in comune, ma non so come fare.
Ciao a tutti, come al solito ho prima utilizzato la funzione "cerca" per vedere se questo argomento fosse stato già trattato ma non ho trovato nulla di simile.
Dunque, ho un problema nella risoluzione di due esercizi riguardanti i sistemi lineari.
1)La prima tipologia di esercizio con cui mi trovo in difficoltà mi chiede di aggiungere delle equazione a due già esistenti affinchè possa costruire un sistema lineare con la sola soluzione nulla.
Esempio: Siano date le equazioni ...
Salve il problema è il seguente:
Dati i punti A(2,1,0) B(4,3,2) determinare un punto C tale che il triangolo abc sia rettangolo con ipotenusa AB.
Non ho capito se per ipotenusa AB intenda quindi il vettore B-A che sarebbe (2,2,2) e cosa devo fare per calcolarlo? Perché io sapevo che avendo uno dei due cateti bastava fare il prodotto scalare che doveva venire =0. Ma se io ho l'ipotenusa non so cosa devo fare
Grazie a tutti
Mi scuso se ho aperto una nuova discussione ma essendo argomenti un po diversi tra loro non volevo fare confusione! Finora ho visto e fatto esercizi riguardo ai prodotti interni in $R^n$. Qualcuno potrebbe fornirmi un esempio di prodotto interno nei polinomi (in uno spazio di dimensione finita possibilmente) ? Grazie!
Buona sera , sto ragionando su questo esercizio da varie ore e non riesco a trovare una soluzione , l'esercizio è il seguente :
Trovare un tre sottospazi U,W,Z di uno spazio vettoriale tali che U intersezione W=U intersezione Z= W intersezione Z=0v(vettore nullo), e la cui somma non sia diretta.
Io ho ragionato nel seguente modo , per essere valide la somma diretta di spazivettoriali la loro intersezione deve essere uguale al vettore nullo , in questo esercizio mi dice che i tre sottospazi ...
Ho un problema con la dimostrazione di questo teorema
Dato un omomorfismo
$f:G\rightarrow H$
e l'omomorfismo naturalmente indotto
$df:g\rightarrow h$
si ha che
$f(\exp(X))=\exp(df(X))$
Dimostrazione
Sia $X\in g$ e consideriamo
$t\rightarrow f(\exp(tX))$
questa è l'immagine (in $H$) del sottogruppo a 1-par generato da $X$ su $G$.
Questa curva ha le proprietà di sottogruppo a 1-par essendo $f$ un omomorfismo
$f(\exp(tX))\times_H f(\exp(sX))=f(\exp(tX)\times_G \exp(sX))=f(\exp(t+s)X)$
Sappiamo ...
Buona sera,
In un esercizio vengono forniti due insiemi $A, B$ e viene chiesta, se esiste, di trovare una funzione surgettiva da $f: A to B$ e una funzione iniettiva $g : B to A$. Io sono riuscito a farlo sono in modo grafico, cioè disegnando gli insieme con i propri elementi e poi "unendo" i vari elementi; è possibile trovare anche una formula analitica (?) di queste due funzioni?
Ciao a tutti,
scrivo il mio primo messaggio perchè sono in difficoltà con un tipo di esercizio che comprende la diagonalizzazione di una matrice e la successiva individuazione di una base di autovettori.
Dunque, la matrice di partenza è:
A = $((1,1,1),(0,3,2),(0,0,1))$
Continuando nello svolgimento, per il polinomio caratteristico:
A' = $((1-λ,1,1),(0,3-λ,2),(0,0,1-λ))$
Le due radici saranno: λ1 = 1 con molteplicità algebrica pari a 2
λ2 = 3 con molteplicità ...
Salve a tutti.
Sono alle prese con un dubbio un pò inquietante. Iniziamo:
Ho questi due teoremi:
TEO1:
"Ogni coppia di matrici quadrate e simmetriche $A$ e $B$, tale che almeno una delle due sia definita positiva (supponiamo $A$), ammette una matrice $Q$ invertibile che le diagonalizza simultaneamente."
TEO2:
"Due matrici quadrate $A$ e $B$ sono diagonalizzabili, allora sono equivalenti le seguenti due ...
Data la matrice 3x3:
$A=((3,-1,0),(-1,3,0),(0,0,1))$
Devo determinare autovalori, autovettori e l'operatore di rotazione che individua gli autovettori ortonormali della matrice A.
Ho calcolato gli autovalori tramite il determinante della matrice, e sono 4,2,1. Questi autovalori li devo usare per calcolare gli autovettori relativi.
Però sorgono subito i problemi... Riscrivendo $(A-\lambda I)=0$ ricavo 3 equazioni:
\begin{cases}(3-\lambda)x_1 -x_2=0 \\ -x_1 + (3-\lambda)x_2=0 \\ ...
Salve a tutti, sto studiando Topologia generale dal libro di Assunta Russo, e avrei una domanda in merito agli spazi cocontabili.
Innanzitutto uno spazio cocontabile S è uno spazio topologico i cui aperti non vuoti sono sottoinsiemi X di S tali che S-X è finito o numeabile.
So che vale la seguente proposizione:
Sia (S,A) spazio topologico. Se S è di Hausdorff (\(\displaystyle T_2 \) ), ogni successione di punti di S ha un unico limite.
Per mostrare che non vale il viceversa mi servo appunto ...
Data $f:X \rightarrow Y$ una identificazione chiusa, con $X$ spazio topologico compatto di Hausdorff.
Ho un dubbio: posso affermare che dato $a\in Y$, allora $f^{-1}(a)$ è chiuso? Se sì, perché? Grazie in anticipo.
Buonasera a tutti
Sto studiando i primi elementi di algebra lineare per un esame di matematica generale che dovrò sostenere tra qualche mese. Parlando di insiemi vettoriali e sottospazio lineare, mi sono imbattuto in un esercizio svolto (immagine in allegato) che non riesco proprio a capire fino in fondo
Non risco a capire in che modo, nel primo esercizio, si possa affermare che l'espressione, alla quale si arriva dopo i semplici calcoli svolti, appartenga all'insieme L... Per quanto ...
Buon giorno , sto cercando di risolvere il seguento esercizio :
Trovare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei sottospazi UcR^3 complementari al piano \pi di equazione x+y+z=0 (ovvero tali che R^3=U + \pi ) e l'insieme dei vettori ( a b c ) appartenenti R^3 tali che a+b+c=1
io ho abbozzato un ragionamento per il quale il piano creato da x+y+z=0 è parallelo al piano a+b+c=1 e i sottospazi complementari sono delle rette che passano per l'origine del piano pigreco ed intersecano ...
Buon giorno , questa mattina mi sto esercitando sempre nell'ambito dei sottospazi vettoriali ma mi sono imbattuto in questo esercizio dove ho trovato molte difficoltà fin da subito . L'esercizio è il seguente :
Per quali valori di t appartenente ad R i quattro vettori (1 2 1 ) , (3 2 t ) , (2 2 t^2 ) , (2 2 t^3) sono linearmente dipendenti ?
Io dalla teoria ho capito che per essere dipendenti i coefficienti a, b ,c e z (in questo ) devono essere diversi da 0 però qui anche il problema che ho ...
Buonasera a tutti, avrei un quesito per voi:
Dato i vettorI V (k,k,k) U(k,1,1) W(0,2,1), stabilire per quali valori di K i vettori sono linearmente dipendenti e per ciascun valore di k così ottenuto, esprimere un vettore in combinazione lineare degli altri.
Allora, io ho calcolato il determinante della matrice composta dai tre vettori e ponendolo uguale a zero ho trovato i valori di k che mi rendono i 3 vettori linearmente dipendenti, è il ragionamento giusto? I valori di k così trovati ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio: data A:= $ {(x,y,z)in R^3 | x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=1} $ dimostrare se A è una superficie regolare.
Allora so come si fa a dimostrare che è una superficie regolare, il punto dove mi blocco è quello di trasformare la superficie in un'equazione che dipende dai parametri u e v. Avevo provato ridurla in forma canonica ottenendo questo risultato $ 3(x-y)^2+4T^2-4=0 $ dove $ T^2=z^2+(x+y)^2/4-z(x+y) $ solo che non so come inserire bene la dipendenza dai parametri u e v. ...
Salve non ho ben chiari i passaggi per risolvere le equazioni con i numeri complessi volevo chiedervi se riuscivate a farmi degli esempi spiegandomi passo per passo. Gli esercizi che avrei da fare sono i seguenti:
$ 4z^2+4iz-1+i=0 $
$ z^2-4iz+4isqrt(3)=0 $
La prima sinceramente mi sembra che mi venga perché viene un risultato sensato ossia
$ 2sqrt(2)(cos(3/4)pi+isin(3/4)pi) $
E
$ 2sqrt(2)(cos(7/4)pi+isin(7/4)pi) $
Ma comunque non ho ben chiari i procedimenti corretti e non so neanche se le precedenti soluzioni siano giuste. ...
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