Geometria e Algebra Lineare

Salve, vorrei chiedere un chiarimento riguardo l'argomento matrici, mi scuso in anticipo se la domanda potrà sembrare banale ma comincio ad avvicinarmi adesso all'algebra lineare volevo chiedere : Quando mi capita un esercizio in cui mi viene data una matrice quadrata, nel mio caso una 3X3 in cui mi si chiede di trovare la dimensione di arrivo e il nucleo, devo prima svolgere il determinante, dopo a seconda se ottengo una un det diverso da zero o uguale a zero so se c'è dipendenza o meno, e ...

Buonasera, Ho un esercizio che mi chiede di definire i generatori dei seguenti sottoinsiemi di $V:=mathbb (R)[T]_(<=2)$ e determinare quali siano sottospazi: (1) $W:={f(t)in[mathbb (R)[T]_(<=2) : f(2)-f(3)+f(4)=0}$ (2) $Z:={f(t)in[mathbb (R)[T]_(<=2) : f(2)-f(3)+f(4)=1}$ Io ho svolto in questo modo: $f(T)=a+bT+cT^2$ $f(2)=a+2b+4c$ $f(3)=a+3b+9c$ $f(4)=a+4b+16c$ per cui $f(T) in W$ $ hArr f(2)-f(3)+f(4)=0 hArr a+2b+4c-a-3b-9c+a+4b+16c=0 hArr a+3b+11c=0 hArr a=-3b-11c$ Quindi $W={a+bT+cT^2 : a=-3b-11c}={-3b-11c+bT+cT^2 : b,c in mathbb (R)}=[(T-3)b+(11+T^2)c : b,c in mathbb (R)}$ Quindi $W=mathcal (L)(T-3, 11+T^2)$ Mentre il secondo esercizio viene $Z={1+(T-3)b+(11+T^2)c : b,c in mathbb (R)}$ e ...

Su $V=R^4$ è data la forma quadratica: $PHI(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2-x_2^2+8x_2x_3+x_3^2$ Detta $phi$ la forma bilineare simmetrica a cui $PHI$ è associata, determinare una base $phi$ coniugata di V (usando il procedimento del teorema di Lagrange). A me la matrice di PHI, e quindi di $phi$, risulta: 1 1 0 0 1 -1 4 0 0 4 1 0 0 0 0 0 I cui autovalori sono: 0,1,4,-4 Ora come uso lagrange?

Ho un esercizio che fa Determinare i piani contenenti l'asse z e che formano un angolo di 60 gradi con il piano \( x-2 = 0 \) Per la prima parte devo trovare i piani passanti per l'origine (0,0,0) e paralleli all'asse z? quindi avrei qualcosa del tipo z = k? non mi è molto chiaro. Per la seconda parte ho che \( cos(60) = \frac{1}{2} \) quindi devo risolvere \( \frac{u\cdot v}{||u||\cdot ||v||} = \frac{1}{2} \) ???

Un esercizio mi chiede di studiare la posizione reciprocra della retta \( r:\begin{cases} \lambda x +y -z =0 \\ y + \lambda z+1 = 0 \end{cases} \) e del piano \( \pi : 3x-y-7z-4=0 \) Io so che prendendo le due matrici A e (A|b) \( (A) : \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix} \) \( (A|b) : \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 & -4 \\ \lambda & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \) abbiamo che se rango di A = rango di ...

Ho difficoltà con questo esercizio e non so neanche da dove cominciare: Nello spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore uguale a due, \( R_2[x] \) , si consideri la base \( B={x^2 +1,x+1,x^2+x} \), si consideri inoltre l'applicazione lineare \( f:R_2[x] \rightarrow R_2[x] \) che ad ogni polinomio associa la sua derivata; Determinare la matrice associata ad f rispetto a questa base, determinare Kerf ed Imf ed infine discutere la diagonalizzabilità di f. Qualcuno che mi da una ...

'Sera a tutti, sono nuovo quindi spero di non commettere errori Ho problemi in un esercizio, cioè non so se il procedimento che metto in atto è giusto o meno. L'esercizio mi chiede :" Siano A = $ A = {x ∈ Z | 2 ≤ x ≤ 15} ;B = 3Z; C = 4Z. $ Quanti elementi ha l'insieme delle parti dell'insieme $ A \\\ (B uu C) $ ?" Io procedo pensando che che l'insieme A ha $ 2 ^ 15 $ elementi ; l'insieme B e C hanno entrambi 2 elementi ciascuno( si conta anche l'insieme vuoto no?). Quindi concludo che $ A \\\ (B uu C) $ ha ...

Ho preso degli esercizi un pdf che ho trovato e sto provando a svolgerli, non capisco bene la notazione L'esercizio dice Show that if $G=GL_n(R)$, then $G^0=GL_n^+$. Cosa è questo $G^0$? In un altro esercizio dice che è "the connected component of the identity in G", ma non capisco bene cosa intenda. Magari risolvendo questo esercizio ed avendo un esempio concreto riesco a capirlo. Grazie in anticipo.

Nello spazio affine euclideo $E^3$; si consideri il luogo ${ ( tx-y+z-2=0 ),( 2x+y-z=0 ):} $. Dire per quali valori di $t$ il luogo è una retta. Penso che per esserlo, le due equazioni non debbano essere linearmente dipendenti. Quindi io presumo che siccome nella prima equazione c'è un $-2$ mentre nella seconda non è presente nemmeno un numero, questo è sempre verificato, però ho paura di sbagliarmi. E' così?

Ho un esercizio che mi chiede di determinare valori di k per cui l'endomorfismo f è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzarlo. \( (x,y,z)\Longrightarrow (ky+3kz,kx+2y,y-kz) \) quindi calcolo il polinomio caratteristico \( \begin{vmatrix} -\lambda & k & 3k \\ k & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -k-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+\lambda^2(2-k)+\lambda(k^2+2k)+k^3+3k^2 \) Teoricamente devo risolvere il polinomio e trovare un \( \lambda \) per cui il polinomio faccia 0 e ...

Ciao ragazzi, sono bloccata su questo esercizio da un paio di giorni e non riesco ad uscirne fuori. L'esercizio mi chiede questo:" Quali dei seguenti sottoinsiemi di (U(Z27), ·) `e un sottogruppo? (Z indica i numeri interi) E le opzioni sono queste: A){1, 2, 4, 8, 16} B){1, 26} C){1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} D){1, 10, 19} La risposta può essere piu di una. Io ho ragionato così, sapendo che H è un sottogruppo di G se per ogni a e b in H il prodotto a * b^{-1} è ancora in H, l'unica opzione che è ...

Calcolare la matrice commutativa $A=(1 1)$ $ (1 0)$ Come la calcolo? E prima di tutto scusate ma non so come inserire il simbolo di matrice, spero che la capirete lo stesso Comunque io ho determinato una matrice generica B

Nello spazio affine euclideo $E^3$; si consideri il luogo ${ ( tx-y+z-2=0 ),( 2x+y-z=0 ):} $. Dire per quali valori di $t$ il luogo è una retta. Penso che per esserlo, le due equazioni non debbano essere linearmente dipendenti. Quindi io presumo che siccome nella prima equazione c'è un $-2$ mentre nella seconda non è presente nemmeno un numero, questo è sempre verificato, però ho paura di sbagliarmi. E' così?

Ho due sottospazi di R5 (x,y,z,t,w) : U={ x+z-t=0 ; x-y-z+w=0 ; y+2z-t-w=0 } e W={ x-2y-2t+2w=0 ; x-y-t+w=0 ; y+t-w=0 } . Devo calcolare la dimensione di U+W. So che devo usare la formula di grassman: dim(U+W) = dimU + dimW - dim( intersezione tra U e W ) , ma non riesco a trovare le basi di U e W per poi trovare la loro dimensione.

Un esercizio mi chiede una base di \( U\cap W \) con \( U = \{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in M_2 (R)| x+z-2t = 0, x+z+t=0 \} \) e \( W = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2 (R)| a-b+c=0,b-c+d=0 \} \) Non mi fido troppo di me stesso e voglio verificare che il procedimento da me adottato sia corretto Inizialmente ho risolto i sistemi e trovato le basi dei sottospazi: Per U: \( \begin{cases} x + z -2t = 0 \\ x+z+t=0 \end{cases} \Longrightarrow ...

Salve a tutti, devo determinare al variare di k una base e le dimensioni di Kerf e Imf. L'esercizio è il seguente: Sia $ B={e1, e2, e3} $ la base canonica di $R^3$ ed $f : R^3 rarr R^3 $ l'endomorfismo di $R^3$ tale che $f(e1)= -e1$ $f(e2)= -ke1 + ke2 - 4ke3$ $f(e3)= -ke2 + ke3 $ Fondamentalmente ho un problema con gli esercizi con i parametri. Come devo proseguire? Avevo pensato di costruire la matrice associata procedendo ...

Salve, il teorema della dimensione dice che: [size=150]dim(Ker(T)) + dim(Im(x)) = dim(X)[/size] dove T è la trasformazione lineare e X è il dominio, mentre Y il codominio Il mio professore ha detto che la Trasformazione è iniettiva se il nucleo contiene solo l'elemento neutro e quindi: [size=150]dim(Ker(T)) = 0[/size] Da qui si ha che: [size=150]dim (X) $<=$ dim (Y)[/size] Ha detto inoltre che è suriettiva se: [size=150]dim (X) $>=$ dim (Y)[/size] Qualcuno ...

Siano $G$ un gruppo abeliano finito, la funzione $\theta : G \rightarrow G$ definita da $\theta(g) = g^2$. 1. Provare che $\theta$ è un omomorfismo. 2. In quali circostanze è un isomorfismo? La prima parte è molto facile: $\theta(g_1 g_2) = (g_1 g_2) (g_1 g_2) = g_1(g_2 g_1) g_2 = g_1 (g_1 g_2) g_2 = (g_1 g_1)(g_2 g_2) = \theta(g_1) \theta(g_2)$ Per essere isomorfismo deve anche essere iniettivo e suriettivo. Per questo è sufficiente che i quadrati siano tutti diversi. In dimensione finita, un omomorfismo iniettivo è anche suriettivo. Tuttavia il testo segnala la seconda domanda come ...

Buonasera, oggi ho svolto un mini "esonero" a risposta multipla e c'era un esercizio che non mi tornava Sia $A$ una matrice $2xx2$ tale che $A^3$ sia la matrice nulla. Allora: (1) $A-I_2$ può non essere invertibile (2) $A-I_2$ è invertibile e la sua inversa è $A+I_2$ (3) $A-I_2$ è invertibile e la sua inversa è $A^2+A+I_2$ il fatto che mi portava fuori strada è un esercizio simile ...

Salve a tutti, ho parecchi problemi con il seguente esercizio e non so da dove iniziare, cioè conosco la definizione di campo, cioè che è una struttura composta da un insieme non vuoto e da due operazioni, ma non riesco a capire dove mettere le mani. L'esercizio mi chiede: Per quali dei seguenti valori di n esiste un campo con n elementi? E le opzioni sono: n = 26 n = 27 n = 28 n = 29 n = 30 n = 31 n = 32 n = 33 n = 34 Qualche aiuto? Sono disperata..