Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho un esercizio che fa
Determinare i piani contenenti l'asse z e che formano un angolo di 60 gradi con il piano \( x-2 = 0 \)
Per la prima parte devo trovare i piani passanti per l'origine (0,0,0) e paralleli all'asse z?
quindi avrei qualcosa del tipo z = k?
non mi è molto chiaro.
Per la seconda parte ho che
\( cos(60) = \frac{1}{2} \)
quindi devo risolvere
\( \frac{u\cdot v}{||u||\cdot ||v||} = \frac{1}{2} \)
???
Un esercizio mi chiede di studiare la posizione reciprocra della retta
\( r:\begin{cases} \lambda x +y -z =0 \\ y + \lambda z+1 = 0 \end{cases} \)
e del piano
\( \pi : 3x-y-7z-4=0 \)
Io so che prendendo le due matrici A e (A|b)
\( (A) : \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix} \)
\( (A|b) : \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 & -4 \\ \lambda & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \)
abbiamo che
se rango di A = rango di ...
Ho difficoltà con questo esercizio e non so neanche da dove cominciare:
Nello spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore uguale a due, \( R_2[x] \) , si consideri la base \( B={x^2 +1,x+1,x^2+x} \), si consideri inoltre l'applicazione lineare \( f:R_2[x] \rightarrow R_2[x] \) che ad ogni polinomio associa la sua derivata; Determinare la matrice associata ad f rispetto a questa base, determinare Kerf ed Imf ed infine discutere la diagonalizzabilità di f.
Qualcuno che mi da una ...
'Sera a tutti, sono nuovo quindi spero di non commettere errori
Ho problemi in un esercizio, cioè non so se il procedimento che metto in atto è giusto o meno.
L'esercizio mi chiede :" Siano A = $ A = {x ∈ Z | 2 ≤ x ≤ 15} ;B = 3Z; C = 4Z. $
Quanti elementi ha l'insieme delle parti dell'insieme $ A \\\ (B uu C) $ ?"
Io procedo pensando che che l'insieme A ha $ 2 ^ 15 $ elementi ; l'insieme B e C hanno entrambi 2 elementi ciascuno( si conta anche l'insieme vuoto no?).
Quindi concludo che $ A \\\ (B uu C) $ ha ...
Ho preso degli esercizi un pdf che ho trovato e sto provando a svolgerli, non capisco bene la notazione
L'esercizio dice
Show that if $G=GL_n(R)$, then $G^0=GL_n^+$.
Cosa è questo $G^0$? In un altro esercizio dice che è "the connected component of the identity in G", ma non capisco bene cosa intenda. Magari risolvendo questo esercizio ed avendo un esempio concreto riesco a capirlo. Grazie in anticipo.
Nello spazio affine euclideo $E^3$; si consideri il luogo
${ ( tx-y+z-2=0 ),( 2x+y-z=0 ):} $.
Dire per quali valori di $t$ il luogo è una retta.
Penso che per esserlo, le due equazioni non debbano essere linearmente dipendenti. Quindi io presumo che siccome nella prima equazione c'è un $-2$ mentre nella seconda non è presente nemmeno un numero, questo è sempre verificato, però ho paura di sbagliarmi. E' così?
Ho un esercizio che mi chiede di determinare valori di k per cui l'endomorfismo f è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzarlo.
\( (x,y,z)\Longrightarrow (ky+3kz,kx+2y,y-kz) \)
quindi calcolo il polinomio caratteristico
\( \begin{vmatrix} -\lambda & k & 3k \\ k & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -k-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+\lambda^2(2-k)+\lambda(k^2+2k)+k^3+3k^2 \)
Teoricamente devo risolvere il polinomio e trovare un \( \lambda \) per cui il polinomio faccia 0 e ...
Ciao ragazzi, sono bloccata su questo esercizio da un paio di giorni e non riesco ad uscirne fuori. L'esercizio mi chiede questo:"
Quali dei seguenti sottoinsiemi di (U(Z27), ·) `e un sottogruppo? (Z indica i numeri interi)
E le opzioni sono queste:
A){1, 2, 4, 8, 16}
B){1, 26}
C){1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
D){1, 10, 19}
La risposta può essere piu di una.
Io ho ragionato così, sapendo che H è un sottogruppo di G se per ogni a e b in H il prodotto a * b^{-1} è ancora in H, l'unica opzione che è ...
Calcolare la matrice commutativa $A=(1 1)$
$ (1 0)$
Come la calcolo? E prima di tutto scusate ma non so come inserire il simbolo di matrice, spero che la capirete lo stesso
Comunque io ho determinato una matrice generica B
Nello spazio affine euclideo $E^3$; si consideri il luogo
${ ( tx-y+z-2=0 ),( 2x+y-z=0 ):} $.
Dire per quali valori di $t$ il luogo è una retta.
Penso che per esserlo, le due equazioni non debbano essere linearmente dipendenti. Quindi io presumo che siccome nella prima equazione c'è un $-2$ mentre nella seconda non è presente nemmeno un numero, questo è sempre verificato, però ho paura di sbagliarmi. E' così?
Ho due sottospazi di R5 (x,y,z,t,w) : U={ x+z-t=0 ; x-y-z+w=0 ; y+2z-t-w=0 } e W={ x-2y-2t+2w=0 ; x-y-t+w=0 ; y+t-w=0 } . Devo calcolare la dimensione di U+W.
So che devo usare la formula di grassman: dim(U+W) = dimU + dimW - dim( intersezione tra U e W ) , ma non riesco a trovare le basi di U e W per poi trovare la loro dimensione.
Un esercizio mi chiede una base di \( U\cap W \) con
\( U = \{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in M_2 (R)| x+z-2t = 0, x+z+t=0 \} \)
e
\( W = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2 (R)| a-b+c=0,b-c+d=0 \} \)
Non mi fido troppo di me stesso e voglio verificare che il procedimento da me adottato sia corretto
Inizialmente ho risolto i sistemi e trovato le basi dei sottospazi:
Per U:
\( \begin{cases} x + z -2t = 0 \\ x+z+t=0 \end{cases} \Longrightarrow ...
Salve a tutti, devo determinare al variare di k una base e le dimensioni di Kerf e Imf.
L'esercizio è il seguente:
Sia $ B={e1, e2, e3} $ la base canonica di $R^3$ ed $f : R^3 rarr R^3 $ l'endomorfismo di $R^3$ tale che
$f(e1)= -e1$
$f(e2)= -ke1 + ke2 - 4ke3$
$f(e3)= -ke2 + ke3 $
Fondamentalmente ho un problema con gli esercizi con i parametri. Come devo proseguire?
Avevo pensato di costruire la matrice associata procedendo ...
Salve,
il teorema della dimensione dice che:
[size=150]dim(Ker(T)) + dim(Im(x)) = dim(X)[/size]
dove T è la trasformazione lineare e X è il dominio, mentre Y il codominio
Il mio professore ha detto che la Trasformazione è iniettiva se il nucleo contiene solo l'elemento neutro e quindi:
[size=150]dim(Ker(T)) = 0[/size]
Da qui si ha che:
[size=150]dim (X) $<=$ dim (Y)[/size]
Ha detto inoltre che è suriettiva se:
[size=150]dim (X) $>=$ dim (Y)[/size]
Qualcuno ...
Siano $G$ un gruppo abeliano finito, la funzione $\theta : G \rightarrow G$ definita da $\theta(g) = g^2$.
1. Provare che $\theta$ è un omomorfismo.
2. In quali circostanze è un isomorfismo?
La prima parte è molto facile:
$\theta(g_1 g_2) = (g_1 g_2) (g_1 g_2) = g_1(g_2 g_1) g_2 = g_1 (g_1 g_2) g_2 = (g_1 g_1)(g_2 g_2) = \theta(g_1) \theta(g_2)$
Per essere isomorfismo deve anche essere iniettivo e suriettivo. Per questo è sufficiente che i quadrati siano tutti diversi. In dimensione finita, un omomorfismo iniettivo è anche suriettivo.
Tuttavia il testo segnala la seconda domanda come ...
Buonasera,
oggi ho svolto un mini "esonero" a risposta multipla e c'era un esercizio che non mi tornava
Sia $A$ una matrice $2xx2$ tale che $A^3$ sia la matrice nulla.
Allora:
(1) $A-I_2$ può non essere invertibile
(2) $A-I_2$ è invertibile e la sua inversa è $A+I_2$
(3) $A-I_2$ è invertibile e la sua inversa è $A^2+A+I_2$
il fatto che mi portava fuori strada è un esercizio simile ...
Salve a tutti, ho parecchi problemi con il seguente esercizio e non so da dove iniziare, cioè conosco la definizione di campo, cioè che è una struttura composta da un insieme non vuoto e da due operazioni, ma non riesco a capire dove mettere le mani.
L'esercizio mi chiede: Per quali dei seguenti valori di n esiste un campo con n elementi?
E le opzioni sono:
n = 26 n = 27 n = 28
n = 29 n = 30 n = 31
n = 32 n = 33 n = 34
Qualche aiuto? Sono disperata..
Sto avendo qualche difficoltà con un esercizio che mi chiede di trovare il nucleo e l'immagine di un endomorfismo f da \(\displaystyle R^3 \) in \(\displaystyle R^3 \)
\( (x,y,z)\rightarrow (x+y+hz, hx+y+z,x+y+hz) \space \space h \in R \)
Ora se non ho capito male, il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio che hanno come immagine 0 tramite f.
Questo vuol dire che devo risolvere il sistema?
\( \begin{cases} x + y +hz = 0 \\ hx + y +z = 0 \\ x + y +hz = 0 \end{cases} \)
mi aiutate a ...
Ciao ragazzi, per studiare la dipendenza o l'indipendenza lineare tra vettori in un esercizio del genere:
$ v_1^rarr = ((k+1),0,1) $ , $ v_2^rarr = (1,k^2,-1) $ , $ v_3^rarr = (-1,k,0) $
ho impostato l'equazione vettoriale $ lambda_1v_1+lambda_2v_2 +lambda_3v_3=0^rarr $ , ho calcolato il determinante della matrice concludendo che con $ k!= 0 $ e $ k!= -1 $ i vettori sono linearmente indipendenti....
ma in questo caso: $ v_1^rarr = (-1,1, beta ) $ , $ v_2^rarr = ( alpha ,-alpha,1) $ come devo procedere? il determinante non si può calcolare ...
Ciao ragazzi vi allego l'esercizio di cui non riesco a capire come W1 e W2 possano essere supplementari di W, grazie
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