Esercizio sui fasci di piani

[Trivroach]

Rieccomi qui questa volta con un esercizio di geometria. La prima richiesta l'ho svolta anche se non so se correttamente, mentre per la seconda non so esattamente come vada svolta.

Considerati i fasci di piani $ F_1 $ e $ F_2 $ aventi per asse rispettivamente le rette $ r_1 $ e $ r_2 $:

$ r_1:{ ( x=-3+2t ),( y=1-4t ),( z=1+5t ):}

tin R $

$ r_2:{ ( x=-2-t^{\prime} ),( y=2+3t^{\prime} ),( z=-1-4t^{\prime} ):}

t^{\prime}in R $

1) Individuare, se possibile, un piano $ pi $ comune ai fasci $ F_1 $ e $ F_2 $ ;
2) esiste più di un piano appartenente ad $ F_1nn F2 $ ?

1) Un piano comune ai due fasci, in base a come ho ragionato io, è un piano contenente sia la retta $ r_1 $ che la retta $ r_2 $ . Uguagliando le espressioni delle equazioni parametriche delle due rette ho risolto il sistema determinando che le due rette sono complanari e (tramite una a piacere delle due soluzioni $ t=2 $ e $ t^{\prime}=-3 $ ) che hanno un punto di intersezione in $ P-= (1,-7,11) $ . Dopo aver scritto i vettori di direzionali delle due rette $ v_1=(2,-4,5) $ e $ v_2=(-1,3,-4) $ ho scritto le equazioni parametriche del piano $ pi $ contenente le due rette, che se non sto sbagliando tutto, è anche il piano comune ai due fasci:

$ pi ={ ( x=1+2l-m ),( y=-7-4l+3m ),( 11+5l-4m ):} $

$ l,m in R $

2) Provando a fare una specie di disegno, mi sembra che infiniti piani appartengano a quell'intersezione. Non so se sia giusto e/o se si possa verificare algebricamente questa cosa in qualche modo.

Grazie ancora

[donald_zeka]

Quelle due rette hai verificato che sono complanari e incidenti? Se si allora la risposta alla seconda domanda è no, dato che un piano comune a quei due fasci contiene le due rette, ma due rette incidenti determinano uno e un solo piano.

[Trivroach]

Si, sono incidenti e complanari. L'intersezione dei due fasci di piani allora è contenuta in un solo piano... devo averla considerata in modo sbagliato. Grazie