Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ciao volevo proporvi questo questo quesito perché non capisco come individuare una procedura analitica per risolvere esercizi come questo.
ho una funzione $g(x+iy)$ t.c.
$Re(g(x+iy) (x-iy))= e^x(x cos(y)+y sin(y))$
e devo risolvere per $g$.
So che se sostituisco $g$ con $e^x (cos(y)+ i sin(y))$ (cioè $e^z$) l'uguaglianza è verificata. Però la soluzione l'ho individuata a occhio e non con una procedura rigorosa.
Grazie a chiunque voglia aiutarmi
Questo grafico è costruito col software wolphram e mi pare di non vedere periodicità, e dubito che il periodo possa essere superiore all'intervallo considerato.
L'analisi di Fourier ci dice che qualsiasi funzione periodica si può scrivere come somma di funzioni periodiche elementari ( $ y(t)=A_1sen(w_1t) $ e $ z(t)=-A_2cos(w_2t) $ sono esempi di funzioni periodiche elementari, con pulsazione e ampiezza massima costanti).
Come faccio a dire analiticamente che la funzione del mio ...
Sto lavorando sul calcolo dei coefficienti di una serie di Fourier di una funzione $f$ di periodo $L$. Ho visto due modi diversi di definire i coefficienti.
Il primo secondo cui:
$f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(\frac{2 \pi nx}{L})+\sum_{n=1}^{\infty} b_n sin(\frac{2 \pi nx}{L}) $ con $a_n= \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x)cos(\frac{2 \pi nx}{L})$ e $b_n= \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x) sin(\frac{2 \pi nx}{L})$
E il secondo per cui:
$f(x)=\sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n e^{\frac{2 \pi n x}{L}}$ con $c_n=\frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-\frac{2 \pi n x}{L}}$
Questi due modi dovrebbero equivalersi, ma non riesco a mostrare come. Il mio problema sta nel fatto che quando io sviluppo l'esponenziale ottengo $cos+i sen$ e ...
Sia f la funzione π-periodica definita ponendo f(x) =cos(x) su [−π/2, π/2).
perché nelle soluzioni c'è $ a_n=4/piint_(0)^(pi/2) cos(x) cos(nx) dx $ ?
io avrei fatto $ a_n=4/piint_(0)^(pi/2) cos(x) cos(2nx) dx $
Sul libro del mio docente, dopo essere stato enunciato e dimostrato il teorema integrale di Cauchy:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_integrale_di_Cauchy
Dice che un corollario di questo è che se $c1$ e $c2$ sono due circuiti regolari a tratti con $c2$ interno a $c1$, se $f$ è olomorfa nel dominio compreso tra i due circuiti allora l'integrale di linea di $f(z)$ calcolato per ognuno dei due circuiti è uguale.
Per dimostrarlo viene detto che basta ...
salve, nella risoluzione di questi due integrali non capisco perché nel primo caso devo utilizzare il circuito di integrazione A(vedi foto) mentre nel secondo caso devo utilizzare il circuito B(vedi foto):
$ int_(0)^(+oo) sqrt(x)/(x^2+4)dx $ (circuito A)
$ int_(0)^(+oo) dx/(sqrt(x)(x^2+1)) $ (circuito B)
non capisco perche nel primo integrale ho dovuto usare un circuito di quella forma, mentre nel B ha una forma diversa
Ciao!
Ora mi sono potuto dedicare a questo teorema
[ot]ad oggi è uno tra i miei teoremi preferiti[/ot]
Sia $(H,<*,*>)$ uno spazio di Hilbert.
Per ogni $varphi in H^(star)$ esiste un unico $u in H$ per cui $varphi(*)=<<u,*>>$
Inoltre $norm(phi)_(H^(star))=norm(u)_(H)$
$H^(star)$ è il duale “continuo”
dim
Sia sia $varphi in H^(star)$ e $M:=Ker(varphi)$
$M$ risulta un sottospazio chiuso poiché è la controimmagine del chiuso ${0_(RR)}$ ed è non vuoto.
- Se ...
Buongiorno a tutti,
Mi chiedevo se qualcuno mi potesse dare una mano con questo esercizio.
"Si studino le singolarità finite della funzione $f(z)=(z-1)/(z*e^(1/(z-1)))$ "
Per me le singolarità sono : $z=0,1 $ e c'è anche la singolarità data da $e^(1/(z-1))=0$ come trovo la singolarità di questo esponenziale?
Grazie di cuore a chi mi risponde.
Salve a tutti.
Provando a vedere alcuni testi d'esame di una prova che dovrò fare mi sono imbattuto in questo integrale che ho trovato difficoltà a risolvere.
$ \int_0^1 x log(\frac{1-x}{x})dx$
Tra i suggerimenti viene scritto di usare la funzione ausiliaria logaritmica e di ricordare il calcolo della discontinuità nel caso di $\sqrt ((z-a)(z-b))$ (non capisco cosa c'entri la radice in questo caso); infine viene detto di usare come percorso di integrazione quello "ad osso di cane", per intenderci quello con due ...
Ciao!
Ho provato a dimostrare il seguente teorema
sia $(H,<<*,*>>)$ uno spazio di Hilbert reale e sia $M$ un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di $H$ allora per ogni $x in H$ esiste un unico $y:=p_M(x) in M$ per cui $i n f_(z in M)norm(x-z)=norm(x-y)$ e tale $y$ è l’unica soluzione del problema
${(y in M),(<<x-y,z-y>> leq0 forall z inM):}$
Inoltre se $M$ è un sottospazio chiuso di $H$ allora $x-p_M(x) in M^(_|_)$
dim
Dato $x in H$ pongo ...
Salve,
per trovare i generatori della sigma algebra di Borel $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ sulla retta reale estesa mi occorre scrivere l'intervallo $[\alpha,+\infty]$ $\alpha\inmathbb{R}$ mediante unione e/o intersezione e/o altre operazioni elementari di insiemi del tipo $(a,+\infty]$, $a\in\mathbb{R}$.
Dopo vari tentativi non sono riscito a trovare un modo. Potreste darmi qualche suggimento?
Grazie
Buongiorno ragazzi, rieccomi qui (purtroppo o per fortuna ).
Sto studiando l'assunto di Gil-Pelaez (formula all'inizio di pag. 2 qui descritta: http://www.rogerlord.com/fourierinversionmethods.pdf), che a lezione ci è stato così proposto: $ P_j=mathbb(Q)(ln(S)>=ln(K)):=1/2+1/\pi\int_(0)^(\infty)Re[(e^(-iu ln(K))f_j(u,x,v))/(iu)]du,\forallj=1,2 $.
Da notarsi il cambio di variabili $S=e^xrArr x=ln (S)$ rispetto alla formula del link per comodità. Bene.
I due autori sono giunti a questo risultato sfruttando le proprietà della trasformata e dell'antitrasformata di Fourier, rispettivamente $ hat(f)(u):=\int_(-\infty)^(+\infty)e^(iux)f(x)dx $ e ...
Ciao!
Mi interesserebbe la correttezza di questo pezzo di dimostrazione
siano $(X,F,mu)$ uno spazio misura, $(Y,G)$ uno spazio misurabile e $varphi:X->Y$ una funzione misurabile. Data la misura $mu_(varphi)(A)=mu(varphi^(leftarrow)(A)), forall A in G$ indotta da $varphi$ su $Y$ si ha
$int_(Y)fdmu_(varphi)=int_(Y)fcircvarphidmu$ per ogni $f:Y->RR$ misurabile
dim
Suppongo che $f=sum_(k=1)^(n)a_k* chi_(A_k)(x)$(ovvero semplice) con ${A_i}_(i=1,...,n)$ una partizione di $Y$
$int_(Y)fdmu_(varphi)=sum_(k=1)^(n)a_k mu_(varphi)(A_k)=sum_(k=1)^(n)a_k mu(varphi^(leftarrow)(A_k))$ ...
Enunciamo prima il seguente Teorema:
Teorema. Ogni insieme aperto $A\subseteq\mathbb{R}$ è unione numerabile di intervalli aperti disgiunti.
Dunque se $A\subseteq\mathbb{R}$ è aperto, allora $$A=\bigcup_{q\in A\cap\mathbb{Q}} I_q,$$ dove $I_q$ è il più grande intervallo aperto contenuto in $A$ che contiene $q$.
Vorrei mostrare il seguente corollario, la cui dimostrazione, dopo alcuni spunti forniti dal testo, l'ho abbozzata io. ...
Buonasera!
Sto cercando di svolgere la serie di Fourier della seguente funzione 2pi periodica:
1. 0
Ciao!
ora che ho finito la sessione vorrei tornare un attimo sulla triplice alleanza; Beppo-Levi, Fatou, conv. Dominata
Mi interessa fare il punto della situazione in merito ad una possibile "sequenza cronologica"
[ot]per non cadere in sequenze di dimostrazioni del tipo "cane che si morde la coda"[/ot]
Beppo-Levi => Fatou(relativo a $underline(lim)$)
è abbastanza chiaro e limpido
quando si parla di convergenza dominata invece prima si definisce l'integrale con segno, poi si dimostra Fatou ...
Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:
$ f(x) = { ( -sin(3x) \qquad pi /3 \leq x \leq \frac{2\pi}{3} ),( 0 \qquad \text{altrove} ):} $
nella base $\sin(kx)$ e nell'intervallo $0, \pi$.
Scrivendo la definizione del coefficiente di fourier, ovvero con l'integrale, sono riuscita a dimostrare attraverso la parità che tutti i k pari sono nulli. Ma non basta: la soluzione dice che gli unici coefficienti non nulli sono $ \sin 3x, \quad \sin((6k\pm 1)x) \quad k \geq 0 $, come posso tirare fuori queste altre ...
buongiorno a tutti,
volevo solamente chiedere se avete qualche delucidazione ( o anche link a testi chiari con esempi) su i vari tipi di convergenza.
so che è un argomento enorme quindi circoscrivo con qualche domanda diretta:
1)la convergenza uniforme in R di una serie di funzione al suo limite puntuale è la norma infinito della loro differenza e quindi devo controllare se il massimo coincide per n che va a infinito? che differenza c'e (nella pratica) con quella uiforme su ogni compatto di ...
Perdonatemi se la domanda è banale.
Ho studiato le proprietà della trasformata di Fourier e quindi stavo cercando di applicarla nella risoluzione di semplici equazioni differenziali lineari, a coefficienti costanti. Il problema è che non arrivo a niente di simile alla soluzione. Per semplicità sono partito con un'equazione del primo ordine (lineare, a coefficienti costanti), non omogenea. La forzante, per semplicità, sia anch'essa una costante, b.
$ y'+ay=b $
Indico:
...
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