Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Di seguito riporto un esercizio di prova d'esame della cui soluzione resa disponibile dallo stesso professore non capisco un passaggio.
dopo diversi punti precedenti si ottiene un sistema dinamico LTI (qualsiasi implicazione successiva sottintendo per sistemi LTI):
$ { ( dot(x) = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , -3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/4 , -1/4 ) )x+((1),(0),(0))u ),( y=( (0,1,-1) ) x):} $
a questo sistema è applicato un ingresso
$ u(t) = 4sin(2t)delta_-1(-t) $
( si badi bene che il gradino è ribaltato rispetto all'asse delle ordinate per il (-t), quindi ho una sinusoide applicata prima dell'istante t=0 e poi ...
Ciao a tutti! Sono nuova nel forum
Potreste aiutarmi a capire che relazione intercorre tra queste due formule?
\( \int_a^b H_{n+1}(x)e^{-x^2/2} \text{d} x + H_{n}(b)e^{-b^2/2} - H_{n}(a)e^{-a^2/2}= 0 \)
\({\frac{1}{\sigma}}\ H_{n}(\frac{x-\mu}{\sigma})e^{-1/2(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} + \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[H_{n-1}(\frac{x-\mu}{\sigma})e^{-1/2(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\right]= 0 \)
Grazie a chi mi risponderà
Salve a tutti, i teoremi di Tonelli e Fubini sono un must have per analisi II, tuttavia io li ho rivisti anche in due corsi della magistrale: un corso di teoria dell'approssimazione e ad analisi funzionale. Nel primo corso l'enunciato era lo stesso di quello visto ad analisi II che tra l'altro è quello che mostra wikipedia.it nella pagina del teorema di Fubini, mentre ad analisi funzionale, prendendo spunto dal Brezis, il teorema era totalmente diverso, infatti permetteva assieme al teorema di ...
Buonasera ragazzi devo svolgere la trasformata di Fourier della seguente funzione nel tempo:
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2} (1-i \sqrt{3})+t} \)
Vi illustro subito il mio problema. Io so che:
\(\displaystyle F[e^{-at}u(t)](f)=\frac{1}{a+2 \pi i f}\) con \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \)
Usando la proprietà di Dualità ottengo la seguente coppia valida:
\(\displaystyle F[\frac{1}{a+2 \pi i t}](f)=e^{af}u(-f)\)
Anche in questo caso \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \), giusto?
Ma se ...
Ciao a tutti,
il prof propone il calcolo del seguente integrale:
\[ \int_0^{(pi)/2} (tan (a))^z [sin(2a)]^w da\] con $z$ e $w$ appartenenti all'insieme dei numeri complessi.
al di la della risoluzione, il prof fa una discussione sulla convergenza in prossimità degli estremi di integrazione.
In particolare, per $a\ -> 0^+$ si ha che $sin(2a) = 2a + O(a^3)$ e che $tan(a) = a + O(a^3)$ e quindi, per assicurare l esistenza dell integrale in prossimità dell estremo di ...
Buonasera a tutti,
nello svolgere alcuni esercizi sugli integrali mi sono bloccato quando sono arrivato al seguente:
$\int_{0}^{+infty} 1/((x^2+1)(x^2+x+1)) dx$
Come potrei procedere? Grazie a chiunque mi aiuti.
salve ragazzi,
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici il prof ha ripreso la definizione della Trasformata di Laplace ( unilatera ) propedeutica alla definizione di funzione di trasferimento. Nel definirla il prof ci ha giustamente ricordato che il dominio della funzione trasformata di laplace è una semipiano destro del piano di gauss ovvero l'insieme di tutti gli elementi complessi che hanno parte reale maggiore di una certa ascissa di convergenza, e fino a qui tutto ok. In secondo luogo ...
Buonasera, non riesco a risolvere questo integrale: $ oint_(\gamma) \frac{sin\pi z}{(z-1)z^3(z+2)}dz $ dove $ \gamma $ è una curva chiusa, orientata positivamente, di sostegno $ |z+1|=3 $ .
Io ho provato ad applicare il teorema dei residui, e trovandomi un unico polo di ordine 2 in $ z=0 $ come unico polo interno a $ \gamma $ ho provato a calcolare $ lim_(z -> 0) d/dz z^2 \frac{sin(pi z)}{(z-2)z^3(z+1) $ e qua mi blocco. Vorrei capire dove sbaglio. Grazie.
Ciao ragazzi, nell'ultima prova il professore ha messo questa funzione:
$ f(z)=cot(z)/z^2 $
La traccia è cercare tutte le singolarità della funzione e inoltre trovare il valore del residuo in 0 della funzione. Ho già trovato le singolarità, dovrebbero essere 2 poli ovvero 0 e kpi, 0 polo di ordine 3 per k=0 e kpi di ordine 1 per k!=0, per il residuo non ho proprio idea di come procedere, ho pensato di utilizzare Laurent ma non so come procedere... Grazie a chi mi aiuterà.
Buonasera,
Ho un grosso problema nel fare una IFT dalla risposta in frequenza di un sistema di secondo ordine alla risposta nel tempo, $ X(t)=F^-1(X(w)) $ quando il sistema è soggetto a forze non periodiche.
Prendiamo, per esempio, un semplice sistema differenziale di secondo ordine non smorzato soggetto ad una forza del tipo :
$ F(t)=u(t)*sin(w1t) $
dove $ u(t)={ ( 1rarr t>0 ),( 0 rarrt<0 ):} $
Srivendo l'equazione del moto avremo:
$ mddot(x)+kx= F(t) $
Omettendo le varie FT, la funzione di trasferimento di questo ...
Salve a tutti, ho un problema con la dimostrazione della tangente come divisione di seno con coseno sotto forma di serie di potenze. Dal libro non riesco a capire qual è il metodo che utilizza, e con la normale divisione di polinomi non mi trovo. Potete aiutarmi?
salve ragazzi,
il dubbio della giornata riguarda i limiti con la delta di dirac, intesa in questo corso di studio come funzione "generalizzata" anzichè rigorosamente come distribuzione.
1. $ lim_(t -> 0^+)delta(t)= ? $
il mio dubbio è se questo limite sia $ 0 $ o stesso $ delta(t) $ o ancora $+oo$: il primo valore perchè se immagino di leggere il grafico da destra fino al valore 0 incontro sempre il valore 0, nel senso che esattamente in 0 "c'è" l'impulso di dirac, ma a un ...
ciao a tutti... avrei bisogno di qualcuno che verificasse che il modo in cui ho risolto questo esercizio è corretto.
la richiesta è la seguente: Dato $ L^2(Q)$ con $Q = [0,1] \times [0,1]$ e l'operatore definito da
\[ Af(x,y) = (x+iy) f(x,y) \]
devo mostrare che $A$ è limitato, e calcolarne la norma.
per il primo punto ho fatto come segue:
$(\int_{Q} |(x+iy)f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq (Sup_{Q} |x+iy| )^{1/2}\int_{Q} |f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq \sqrt{2} ||f||_{2}$
che dimostra la limtatezza.
Per individuare la norma dell'operatore, è corretto prendere una funzione in ...
Salve,
Sul mio libro di analisi complessa (il Cartan) si fa uso a un certo punto della seguente proposizione:
Sia $R \subset CC$ un rettangolo (con i lati paralleli agli assi).
Sia $\gamma$ la curva che parametrizza il perimetro in senso antiorario (per fissare le idee partiamo dal vertice in basso a destra).
Sia $z_0$ punto interno al rettangolo e $A$ l'area del rettangolo.
Allora $\int_{\gamma} |z-z_0| dz=A$
Intuitivamente la cosa mi pare molto ragionevole, ma ...
Salve a tutti.
Mi sto preparando su alcuni esercizi riguardanti la Traformata di Fourier, ma mi sono imbattuto in uno che proprio non mi viene.
Si calcoli la trasformata di Fourier della seguente successione di distribuzioni.
$f_n(x)=\frac{n^2x+1}{n^2x^2+4}$
Quello che ho fatto è stato scoporre la frazione in $\frac{n^2x}{n^2x^2+4}+\frac{1}{n^2x^2+4}$
La trasforma di F. della prima frazione è nota, essa infatti è la trasforma della Lorentziana nella forma $f(t)=1/(a^2+t^2) \implies \hat(f)(\omega)= \pi/a e^{a\abs(\omega)}$
da cui
$f_1(t)=\frac{1}{(2/n)^2+x^2}\;\hat(f_1)(\omega)= (\pi n)/2e^{-2/n\abs(\omega)}$
Da qui il primo dubbio: il ...
salve ragazzi,
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici (premetto studiamo solo sistemi causali) mi è stata proposta come definizione di Tempo-invarianza di un sistema dinamico
$ { ( dot(x) = f(x,u,t) ),( y = g(x,u,t) ):} $
l' indipendenza delle funzioni $ f $ e $ g $ dal tempo esplicitamente, ovvero
$ f(x,u,t) = f(x,u);$
$ g(x,u,t) = g(x,u); $
con x vettore di stato, u di ingresso e y d'uscita ( rappresentazione ISU )
Tuttavia in una delle lezioni è stato giustificato il fatto che, in un sistema ...
nonostante il prof non abbia dato una definizione rigorosa del polinomio minimo m(s) di una matrice quadrata A, ha affermato che gli autovalori della matrice compaiono nel polinomio minimo con una molteplicità pari alla molteplicità geometrica, quindi nel caso di A diagonalizzabile dovrei avere una coincidenza tra polinomio minimo e caratteristico.
Ora, cercavo di calcolare la matrice esponenziale $ e^(At) $ della matrice $ A=( ( 1,2,1 ),( 0,2,0 ),( 1,-2,1 ) ) $ che è facilmente dimostrabile essere ...
Salve a tutti!
Guardando dei temi di esame mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a capire e risolvere. Quanlcuno può darmi una mano?
Si considerino in $L^2(-1,1)$ i primi due polinomi di Legendre $P_0(t)=1/\sqrt(2)$ e $P_1(t)=\sqrt(3/2)t$. Un operatore $T$ ammette la seguente decomposizione spettrale:
$(Tf)(x)=\int_-1^1 f(t)dt + x \int_-1^1 tf(t)dt $ con $f\inL^2(-1,1)$
Le richieste sono:
a)Quali sono gli autovalori e gli autovettori di T?
b)T è continuo?
c)T è iniettivo?
d)Sia ...
Ciao!
1) Dati $X,Y$ due $k$ spazi vettoriali e sia $T:X->Y$ un operatore lineare continuo, ho mostrato che se la composizione $T^n$ converge in norma operatoriale a $0$ il suo raggio spettrale deve essere $leq1$
basta considerare che se $(lambda, x)$ è una coppia autovalore/autovettore
$abs(lambda)^(n) norm(x)=norm(T^n x)leqnorm(T^n)norm(x)->0 => abs(lambda)<1$
essendo $xne0$
mi chiedevo se, senza specificare la dimensione dello spazio vettoriale e magari ...
Ciao a tutti vorrei capire perchè questo insieme:
\[
\mathbb{C} \setminus \{ z=x+i y \in \mathbb{C}:\ - |x| \leq y \leq |x|,\ xy = 1/2 \}\; .
\]
è semplicemente connesso.
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