TdM - Cronologia dimostrazioni

[anto_zoolander]

Ciao!

ora che ho finito la sessione vorrei tornare un attimo sulla triplice alleanza; Beppo-Levi, Fatou, conv. Dominata
Mi interessa fare il punto della situazione in merito ad una possibile "sequenza cronologica"

[ot]per non cadere in sequenze di dimostrazioni del tipo "cane che si morde la coda"[/ot]
Beppo-Levi => Fatou(relativo a $underline(lim)$)
è abbastanza chiaro e limpido

quando si parla di convergenza dominata invece prima si definisce l'integrale con segno, poi si dimostra Fatou relativo al limsup e poi si dimostra la convergenza dominata; giusto?
Nel senso che queste due considerazioni si fanno per l'integrale con segno.

il primo utilizzo che ho fatto usando l'integrale con segno è questo

siano ${f_n}_(n in NN):X->RR$ una successione di funzioni misurabili e $f:X->RR$ una funzione tali che \( f_n \searrow f \). Se esiste $g in L^1(mu, X)$ per cui $f_nleqg$ allora $intf_ndmu->intfdmu$

nel fare questo si può considerare semplicemente la funzione $h_n=g-f_n$ che è una successione di funzioni misurabili non negative la quale \( h_n=g-f_n \nearrow g-f=h \)

quindi

$lim_(n->+infty)int(g-f_n)dmu=int(g-f)dmu$

se ora suppongo che l'integrale sia quello con segno posso tranquillamente arrivare alla tesi sfruttando la linearità.
Questo darebbe senso alla dimostrazione successiva che sarebbe quella di Fatou con il limsup

sia ${f_n}_(n in NN):X->RR$ una successione di funzioni misurabili e tali che esista $g in L^(1)(mu, X)$ per cui $f_nleqg$ allora

$overline(lim)intf_ndmuleqintoverline(lim)f_ndmu$

la dimostrazione è semplicemente data dal porre $h_n(x)= s u p_(kgeqn)f_k(x)$

essendo $f_ileqh_n$ per ogni $igeqn$ si ottiene $intf_i dmuleqinth_ndmu$ per ogni $igeqn$ da cui

$s u p_(igeqn)intf_i dmu leqinth_ndmu$ per ogni $n in NN$

passando a limite si ottiene la tesi considerando che $h_n$ è una funzione decrescente che converge a $overline(lim)f_n$ con la considerazione che per ogni $x in X$ si ha $f_n(x)leqg(x)$ per cui $h_ileqs u p_(n in NN)f_n(x)leqg(x)$ per ogni $i in NN$ potendo così applicare quanto detto sopra

Se tutta la baracca ha senso mi darebbe anche un motivo per la presenza di quelle ipotesi nel teorema della convergenza dominata.

[gugo82]

Ma da dove hai studiato T.d.M.?

Ogni scuola di pensiero ha le sue convenzioni in merito all’integrale di Lebesgue…

[anto_zoolander]

Ho potuto seguire poco del corso quindi non ho potuto interagire granché con il docente e ho studiato sul Folland(principalmente)

Ad ogni modo mi interesserebbe sapere se la sequenza logica sia corretta, nonostante gli dia credito, non voglio che l’ultima parola sia io stesso a darla.

Sul folland fa proprio questo
Prima vengono dimostrati i teoremi; convergenza monotona, fatou. Poi viene definito l’integrale con segno e successivamente si fanno considerazioni relative alla convergenza dominata usando di fatto queste due cose che ho chiamato in causa ma senza averle mai dimostrate; quindi ho provato a costruirmi un percorso sensato.

[dissonance]

Hai fatto bene a costruirti il percorso sensato (dico davvero). Altri tremila sono possibili. Ora vai avanti, non ti fissare.

[anto_zoolander]

Perfetto ti ringrazio.
Si non mi fisso promesso però sono contento che sia corretto; grazie ancora