Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Definiamo una successione di funzioni $L_n: [0,1]\to [0,1]$ nel modo seguente:
$$
L_n(0):=0
$$
$$
L_n:=\begin{cases}
\text{funzione lineare con coefficiente angolare}\; \big(\frac{3}{2}\big)^n\;\text{in}\; K_n \\
\text{costante su ogni intervallo di}\; [0,1]\setminus K_n
\end{cases}
$$
where $K_n$ è l'unione degli intervalli che rimangono ad ogni passo nella costruzione dell'insieme di Cantor.
Per esempio, ...
Salve a tutti dovrei risolvere un' equazione diffferenziale con l'integrale di Duhamel, io ho studiato come fare in un esame di sismica, e credevo di aver capito, ma ora non riesco ad andare avanti, vorrei sapere sa qualcuno può aiutarmi a se può consigliarmi qualche sito o testo da consultare. vi ringrazio per l'attenzione
L'equazione è la seguente
$ (partial v(t))/(partial t) +lambda *v(t)=chi *(U(t)-Uc) $
Io ho fatto così:
$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*( dbar(v)(t-tau))/dt d tau $
dove
$ bar(v)(t)=1/lambda *(1-e^(-lambda*t )) $
quindi:
$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*e^(-lambda(t-tau )) d tau $
a questo punto, facendo ...
Buongiorno, avrei bisogno di una mano con un integrale.
L'integrale è questo
\[\int_{|z|=\pi}e^{\frac{1}{z}}+\frac{e^z}{1-cos(z)} dz \].
Ho ragionato così, un po' per fede ho spezzato l'integrale sperando che non si presentino forme indeterminate.
Ho risolto il poi il primo pezzo sfruttando la teoria dei residui quindi:
\[\int_{|z|=\pi}e^{\frac{1}{z}} dz = 2\pi i R[0]= 2\pi i *1\]
Il residuo l'ho calcolato semplicemente sviluppando e^1/z con Laurent.
Il problema arriva adesso, non so come ...
Buonasera a tutti.
Riporto un esercizio di un vecchio tema d'esame di teoria della misura.
Usando i teoremi appropriati e giusti cando opportunamente i passaggi chiave, calcolare:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-n^2x}}{\sqrt{|x-n^2|}} dx $$
Suggerimento: per n > 2, $ \int_0^{+\infty} = \int_0^1 + \int_1^{n^2-n} + \int_{n^2-n}^{n^2+n}+\int_{n^2+n}^{+\infty} $
calcolare il limite di ciascuno dei quattro pezzi facendo le opportune considerazioni / stime. f non ha primitiva elementare, ma è il prodotto di due funzioni ...
Ho il seguente problema da risolvere
$\begin{cases}<br />
u_t(x,t;m)=2 u_{xx}(x,t;m)-t u(x,t;m) \\<br />
u(0,t;m)=0 \\<br />
u_x(\pi,t;m)= e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}} \\<br />
u(x,0;m)=x+sin(x)<br />
\end{cases} $
$Si tratta dell'equazione del calore con condizioni al bordo miste e per risolverla devo, prima di tutto, modificare due cose: devo eliminare il termine $t u(x,t;m)$ e devo rendere omogenea la condizione $u_x(\pi,t;m)= e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}}$.<br />
<br />
Per quanto riguarda la prima modifica faccio una sostituzione e pongo $u(x,t;m)=e^{-t} v(x,t;m)$. Il nuovo problema sara' quindi:<br />
$\begin{cases}
v_t(x,t;m)=2 v_{xx}(x,t;m) \\
v(0,t;m)=0 \\
v_x(\pi,t;m)= e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}+t} \\
v(x,0;m)=x+sin(x)
\end{cases}$<br />
<br />
$Ora devo rendere omogenee le condizioni al bordo, quindi, facendo le dovute sostituzioni arrivo al problema di ...
Salve a tutti, scusate per l'ignoranza ma non riesco a capire e soprattutto non riesco a trovare una risposta.
$ e^(i) $ a quanto è uguale? se scrivo su google mi esce che :
$ e^(i)= 0,540302306 + 0,841470985 i $
Ma a cosa sarebbe uguale? pongo $ vartheta =1 $
$ e^(i)= cos(1) + j sen(1) $ ma mi esce usando la calcolatrice:
$ e^(i)= 0,9998476952 + 0,01745240644 i $ forse lo sto calcolando in gradi e non in radianti oppure sto sbagliando proprio tutto? Sennò come faccio a cambiare sulla calcolatrice gradi a radianti?
Buonasera a tutti,
sono in difficoltà con un esercizio di analisi 2 riguardante il Teorema integrale di Cauchy.
L'esercizio chiede di risolvere quest' esercizio attraverso il teorema/le formule.
$\int_{+ gamma} z/(2z+1) dz$ dove $+ gamma$ è la circonferenza $|z|=2$ percorsa in verso antiorario.
Grazie in anticipo.
Sono abbastanza nuovo nel forum e chiedo scusa per eventuali errori commessi.
Il quesito che propongo è tratto da un esame di Teoria della Misura ed è il segunte:
Sia $f(x,y) = e\^{-abs(xy)}sin(1/x)sin(1/y)$. Stabilire se è integrabile su $RR^2$ rispetto alla misura di Lebesgue e, in caso affermativo, se ne calcoli l'integrale.
Poichè vorrei svolgere l'esercizio con ogni motivazione teorica, per fare le cose fatte bene vorrei prima di tutto dimostrare che f è misurabile, e successivamente dimostrare ...
Mi chiedevo se ogni funzione bilineare $F:A \times B -> RR$ è continua.
Ad esempio nel caso di forme quadratiche $F:RR^n \times RR^n->RR$ definite da $F(x,y)=x^T Ay$ con $A \in M_n(RR)$ questo è chiaramente vero ma non mi viene in mente come lo si possa dimostrare per funzioni bilineari qualsiasi.
devo classificare le singolarità di $ f(z)=z/(1-cos(z) $ e calcolarne il residuo.
io ho fatto $ 1-cos(z)=0 $ e ho trovato $ z_k=2kpi $. qualcuno saprebbe spiegarmi perché se $ k!=0 $ allora $ z_k $ è un polo del secondo ordine, mentre se $ k=0 $ $ z_0 $ è polo del primo ordine? io avrei detto che gli $ z_k $ sono tutti del primo ordine ma non è cosi...
e perche i residui degli $ z_k $ con $ z!=0 $ sono nulli?
$ f(z)=e^(1/(z-1))/(z^2(z^2+4) $
il professore ha detto che siccome la funzione $ f $ ha all'infinito uno zero del quart'ordine allora $ Res(f,oo)=0 $
il fatto che il residuo all'infinito sia zero dipende dal fatto che lo zero è del quarto ordine o il residuo sarebbe stato zero anche se la funzione all'infinito avesse avuto uno zero del primo ordine ?
Buonasera a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio in cui mi viene chiesto di dimostrare la misurabilità di una funzione.
Dimostrare la misurabilità della seguente funzione
$f(x)=\frac{1}{[x^2+1]}$
dove $<li>$ è la funzione parte intera.
Sinceramente non vorrei usare la definizione perché mi annoio a fare calcoli :p. Avevo intenzione di usare il seguente ragionamento.
1. La funzione $h(x)=x^2+1$ è misurabile perché è una funzione continua;
2. Dimostro che ...
perché la funzione $ f(z)=1/(z(1-z) $ ha una singolarità essenziale all'infinito?
Buongiorno,
ho bisogno di una mano nella risoluzione di questo problema:
$ \{ ((partial u)/(partial t) - B*(partial^2 u)/(partial x^2) = f_0 * sin((3pi)/L x) ), (u(0,t)= 0), (u(L,t)= 0), (u(x,0)= 0) :}$
Si tratta di un problema di diffusione del calore attraverso una sbarra di lunghezza $L$, dunque l ' intervallo da prendere in considerazione è $[0,L]$.
Divido il problema in parte stazionaria indipendente dal tempo e parte transitoria:
$u(x,t) = v(x) + s(x,t)$
Essendo le condizioni al bordo di tipo Dirichlet omogenee, la soluzione stazionaria $v(x) = 0$.
Le autofunzioni ...
Ciao a tutti,
ho un esercizio che vi propongo del quale ho accennato a una soluzione ma della quale non sono sicuro
Calcolare l'integrale su $\gamma$ di $f (z)= \frac{Re(z)}{z^2+1}$
Dove $\gamma$ è il cammino composto dai segmenti
$y=0, x \in [-1,1] $(detto $\gamma_1$)
e dai segmenti delle rette che collegano gli estremi di $\gamma_1$ al punto $ x=0, y=3/2$
percorso in senso antiorario
Essendo la funzione dispari, su $\gamma_1$ il suo integrale è ...
Qualcuno saprebbe portarmi esempi di proprietà che sono soddisfatte quasi ovunque secondo la convenzione
"se una certa proprietà è soddisfatta in tutti i punti di un insieme A misurabile secondo Lebesgue, tranne, al più, nei punti di un insieme di misura nulla, diremo che la proprietà è soddisfatta quasi ovunque (in simboli "q.o.")?
la convoluzione tra $ f(x) $ e $ g(x) $ è $ f(x)** g(x)=int_RRf(x-t)g(t)dt $
perché $ f(x)** f(x) $ dove $ f(x)=H(t)e^(-2x) $ è $ int_(0)^xe^(-2x)dt $ ? non capisco l'estremo superiore di integrazione.
Buonasera a tutti,
mi hanno chiesto una mano su una dimostrazione relativa alla misurabilità dell'unione di due insiemi misurabili. La mia memoria, purtroppo, fa cilecca ed essendo anche fuori casa non ho la possibilità di controllare sui miei libri. Così, per divertimento, ho tentato di ricostruire la dimostrazione da solo.
Teorema
Siano $E_1, E_2\subset\mathbb{R}^{N}$ due insiemi Lebesgue-misurabili, allora $E_1\cupE_2$ è Lebesgue-misurabile.
Prima di proporre la dimostrazione, fornisco la ...
Salve a tutti,
sto rimettendo mano a molti concetti di Analisi Superiore cercando di dar loro un filo logico in ottica astratta.
Ho passato in rassegna la trasformata di Fourier e il modo con cui viene poi "agganciata" alle conoscenza matematica accumulata sino ad oggi:
combinazione lineare nello spazio di Hilbert su base ortonormale infinita (sotto opportune condizioni).Ovvero ciascun "vettore" dello spazio viene espresso attraverso una combinazione lineare di "vettori" ortonormali di una base ...
$ f(x)=x $ da $x=0$ a $ x= pi/2 $
$ f(x)=-x+pi $ da $x=pi/2$ a $ x= 3pi/2 $
$ f(x)=x-2pi $ da $x=3pi/2$ a $ x= 2pi $
$ f(x)=pi/2senx $ a intuito mi sembra una buona approssimazione.
Ma quale è quella di fourier? Penso che un trinomio trigonometrico giá approssimi in maniera eccellente la funzione.
Grazie in anticipo
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