Equazione per funzione complessa

[jacques_leen]

Ciao volevo proporvi questo questo quesito perché non capisco come individuare una procedura analitica per risolvere esercizi come questo.

ho una funzione $g(x+iy)$ t.c.
$Re(g(x+iy) (x-iy))= e^x(x cos(y)+y sin(y))$
e devo risolvere per $g$.
So che se sostituisco $g$ con $e^x (cos(y)+ i sin(y))$ (cioè $e^z$) l'uguaglianza è verificata. Però la soluzione l'ho individuata a occhio e non con una procedura rigorosa.

Grazie a chiunque voglia aiutarmi

[pilloeffe]

Ciao jacques_leen,

"jacques_leen":Però la soluzione l'ho individuata a occhio [...]

Non so bene cosa intendi con questo, ma comunque io cercherei di far comparire il termine $(x - iy) $ e l'operatore $Re$ al secondo membro:

$ Re[g(x+iy) (x-iy)]= e^x(x cos(y)+y sin(y)) = Re[e^x(cos(y) + i sin(y))(x - iy)] \implies $
$ \implies g(x + iy) = e^x(cos(y) + i sin(y)) = e^z $

In alternativa puoi porre $u := g(x + iy) = \sigma + i\omega $ e calcolarti la parte reale del primo membro: troverai che $\sigma = e^x cos(y) $ e $\omega = e^x sin(y) $, pervenendo naturalmente allo stesso risultato ottenuto precedentemente con l'altro metodo.

[jacques_leen]

"pilloeffe":Ciao jacques_leen,
[quote="jacques_leen"]Però la soluzione l'ho individuata a occhio [...]

Non so bene cosa intendi con questo, ma comunque io cercherei di far comparire il termine $(x - iy) $ e l'operatore $Re$ al secondo membro:

$ Re[g(x+iy) (x-iy)]= e^x(x cos(y)+y sin(y)) = Re[e^x(cos(y) + i sin(y))(x - iy)] \implies $
$ \implies g(x + iy) = e^x(cos(y) + i sin(y)) = e^z $

In alternativa puoi porre $u := g(x + iy) = \sigma + i\omega $ e calcolarti la parte reale del primo membro: troverai che $\sigma = e^x cos(y) $ e $\omega = e^x sin(y) $, pervenendo naturalmente allo stesso risultato ottenuto precedentemente con l'altro metodo.[/quote]

ciao e grazie per la risposta. la parte in grassetto è esattamente quello che ho fatto per risolvere l'equazione e quello che intendevo con la parte che non ti era chiara