Serie di Fourier di una funzione
Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:
$ f(x) = { ( -sin(3x) \qquad pi /3 \leq x \leq \frac{2\pi}{3} ),( 0 \qquad \text{altrove} ):} $
nella base $\sin(kx)$ e nell'intervallo $0, \pi$.
Scrivendo la definizione del coefficiente di fourier, ovvero con l'integrale, sono riuscita a dimostrare attraverso la parità che tutti i k pari sono nulli. Ma non basta: la soluzione dice che gli unici coefficienti non nulli sono $ \sin 3x, \quad \sin((6k\pm 1)x) \quad k \geq 0 $, come posso tirare fuori queste altre condizioni?
$ f(x) = { ( -sin(3x) \qquad pi /3 \leq x \leq \frac{2\pi}{3} ),( 0 \qquad \text{altrove} ):} $
nella base $\sin(kx)$ e nell'intervallo $0, \pi$.
Scrivendo la definizione del coefficiente di fourier, ovvero con l'integrale, sono riuscita a dimostrare attraverso la parità che tutti i k pari sono nulli. Ma non basta: la soluzione dice che gli unici coefficienti non nulli sono $ \sin 3x, \quad \sin((6k\pm 1)x) \quad k \geq 0 $, come posso tirare fuori queste altre condizioni?
Risposte
"DamunaTaliffato":
Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:
Sicura che si tratti della serie di Fourier ?
Di solito la serie di Fourier si usa con funzioni periiodiche, la tua non mi sembra una funzione periodica..
Forse si tratta della trasformata di Fourier ?
"Exodus":
[quote="DamunaTaliffato"]Salve, stavo cercando di dimostrare quali coefficienti sono nulli nello sviluppo della serie di fourier della funzione:
Sicura che si tratti della serie di Fourier ?
Di solito la serie di Fourier si usa con funzioni periiodiche, la tua non mi sembra una funzione periodica..
Forse si tratta della trasformata di Fourier ?[/quote]
La puoi prolungare a funzione periodica avendo gli estremi uguali.
"arnett":
Hai provato semplicemente a fare i conti? Forse si può usare l'ortogonalità, ma messo così l'integrale che viene fuori non riesco a cavarci molto.
Ecco la soluzione (non capisco proprio da dove tira fuori quest'altra condizione):
"arnett":
Ragiona su delle simmetrie che secondo me sono un po' difficili da vedere se non sai già che ci sono, prova a svolgere esplicitamente gli integrali $\int_{pi/3}^{2\pi/3} -sin(3x)sin(nx)dx$ e guarda dove si annullano al variare di $n$.
Come posso svolgerlo esplicitamente?
"arnett":
Ragiona su delle simmetrie che secondo me sono un po' difficili da vedere se non sai già che ci sono, prova a svolgere esplicitamente gli integrali $\int_{pi/3}^{2\pi/3} -sin(3x)sin(nx)dx$ e guarda dove si annullano al variare di $n$.
Mi spiego meglio: l'esercizio chiedeva di dimostrare che gli unici punti che non si annullavano erano quelli sopra riportati. Quindi lui quei punti in realtà li esplicitava.
"arnett":
L'integrale si fa per parti due volte, ricavando un'equazione per l'integrale originale. Posta pure i tuoi conti se hai difficoltà, ora scrivo da cellulare, prima ho fatto i conti e venivano cose del tipo $("coefficienti")/(n^2-9)(sin(2/3 pi n) + sin (1/3 pi n))$, da cui è facile trovare il risultato che cerchi, trattando a parte l'integrale con $n=3$.
Con quell'aiuto nel testo anche i ragionamenti sulla simmetria diventano abbordabili credo.
Grazie mille, sono riuscita!
"arnett":
L'integrale si fa per parti due volte, ricavando un'equazione per l'integrale originale. Posta pure i tuoi conti se hai difficoltà, ora scrivo da cellulare, prima ho fatto i conti e venivano cose del tipo $("coefficienti")/(n^2-9)(sin(2/3 pi n) + sin (1/3 pi n))$, da cui è facile trovare il risultato che cerchi, trattando a parte l'integrale con $n=3$.
Con quell'aiuto nel testo anche i ragionamenti sulla simmetria diventano abbordabili credo.
Grazie mille, sono riuscita!
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