Generatori della sigma algebra di Borel

[elatan1]

Salve,

per trovare i generatori della sigma algebra di Borel $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ sulla retta reale estesa mi occorre scrivere l'intervallo $[\alpha,+\infty]$ $\alpha\inmathbb{R}$ mediante unione e/o intersezione e/o altre operazioni elementari di insiemi del tipo $(a,+\infty]$, $a\in\mathbb{R}$.

Dopo vari tentativi non sono riscito a trovare un modo. Potreste darmi qualche suggimento?

Grazie

[elatan1]

Grazie tante.

Viceversa vale anche che $$(\alpha,+\infty]=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[\alpha-\frac{1}{n},+\infty\bigg]=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg[-\infty,\alpha-\frac{1}{n}\bigg)^c.$$

Giusto?

[elatan1]

E' più ragionevole che $$(\alpha,+\infty]=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[\alpha+\frac{1}{n},+\infty\bigg]=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg[-\infty,\alpha+\frac{1}{n}\bigg)^c.$$

[elatan1]

Inoltre, ora che ci sono, ti dico tutte le relazioni che ho trovato: $$[-\infty,\alpha]=\bigcap_{n=1}^\infty \bigg[-\infty,\alpha+\frac{1}{n}\bigg),$$ inoltre $$[-\infty,\alpha)=\bigcup_{n=1}^\infty \bigg[-\infty,\alpha-\frac{1}{n}\bigg)$$

Spero di non aver commesso altre imprecisioni