Trasformata di Fourier e ODE
Perdonatemi se la domanda è banale.
Ho studiato le proprietà della trasformata di Fourier e quindi stavo cercando di applicarla nella risoluzione di semplici equazioni differenziali lineari, a coefficienti costanti. Il problema è che non arrivo a niente di simile alla soluzione. Per semplicità sono partito con un'equazione del primo ordine (lineare, a coefficienti costanti), non omogenea. La forzante, per semplicità, sia anch'essa una costante, b.
$ y'+ay=b $
Indico: $ Y(f)=F[y(t)] $
$ F[b(t)] = b delta(f) $
Per il teorema di derivazione della trasformata:
$ F[y'(t)] = (j2pif)*Y(f) $
Riscrivo quindi l'ODE nelle frequenze e ottengo:
$ Y(f)=(bdelta(f))/(a+j2pif) $
Adesso calcolo l'antitrasformata di Y(f), e sfrutto la proprietà campionatrice di delta:
$ y(t)=int_(-oo)^(oo)delta(f)*(be^(j2pift)) / (a+j2pif) df = b/a $
(Inf sta per infinito. Potreste dirmi come scrivere per stampare il simbolo di infinito?)
Ovviamente la y(t) non ha solo b/a per soluzione
Dove sbaglio?
Ho studiato le proprietà della trasformata di Fourier e quindi stavo cercando di applicarla nella risoluzione di semplici equazioni differenziali lineari, a coefficienti costanti. Il problema è che non arrivo a niente di simile alla soluzione. Per semplicità sono partito con un'equazione del primo ordine (lineare, a coefficienti costanti), non omogenea. La forzante, per semplicità, sia anch'essa una costante, b.
$ y'+ay=b $
Indico: $ Y(f)=F[y(t)] $
$ F[b(t)] = b delta(f) $
Per il teorema di derivazione della trasformata:
$ F[y'(t)] = (j2pif)*Y(f) $
Riscrivo quindi l'ODE nelle frequenze e ottengo:
$ Y(f)=(bdelta(f))/(a+j2pif) $
Adesso calcolo l'antitrasformata di Y(f), e sfrutto la proprietà campionatrice di delta:
$ y(t)=int_(-oo)^(oo)delta(f)*(be^(j2pift)) / (a+j2pif) df = b/a $
(Inf sta per infinito. Potreste dirmi come scrivere per stampare il simbolo di infinito?)
Ovviamente la y(t) non ha solo b/a per soluzione
Dove sbaglio?
Risposte
"arnett":
Ti stai muovendo nell'ambito della trasformazione di Fourier di funzioni che stanno in \(\mathcal{S'}\) (perché stai trasformando anche delle costanti, e in $L^1$ non puoi farlo); però la parte mancante della soluzione, vale a dire $ce^{-at}$ per qualche costante $c$, non sta in \(\mathcal{S'}\), e naturalmente la trasformazione con Fourier te la fa perdere: quando risolvi con Fourier una ODE troverai quelle soluzioni che soddisfano le ipotesi di trasformabilità e antitrasformabilità, le altre le perdi.
Ohhh... Mi sento come quando si realizza di essersi fatti rifilare un prodotto mediocre spacciato per ottimo
Ma per curiosità, gli spazi $L^1$ e \(\mathcal{S'}\) sarebbero? Così do una lettura a riguardo.
Grazie per la risposta.
"Marss_8":
[quote="arnett"]Ti stai muovendo nell'ambito della trasformazione di Fourier di funzioni che stanno in \(\mathcal{S'}\) (perché stai trasformando anche delle costanti, e in $L^1$ non puoi farlo); però la parte mancante della soluzione, vale a dire $ce^{-at}$ per qualche costante $c$, non sta in \(\mathcal{S'}\), e naturalmente la trasformazione con Fourier te la fa perdere: quando risolvi con Fourier una ODE troverai quelle soluzioni che soddisfano le ipotesi di trasformabilità e antitrasformabilità, le altre le perdi.
Ohhh... Mi sento come quando si realizza di essersi fatti rifilare un prodotto mediocre spacciato per ottimo
:[/quote]Beh, piano piano però...
Un problema è anche che stai usando la TdF "impropriamente".
La trasformata funziona con problemi di Cauchy da cui ti aspetti soluzioni "con significato fisico", e perciò è del tutto ovvio che non sempre riesca a determinare l'integrale generale di una EDO "a caso".
Senza entrare troppo nel matematichese, il problema è che non ha senso fare la trasformata di Fourier dell'esponenziale. La spiegazione che segue è presa dal libro di Gilardi. Partiamo dall'identità
\[
(e^x)'=e^x.\]
Se fosse possibile trasformare secondo Fourier membro a membro, si avrebbe
\[
2\pi j f \mathcal{F}[e^x](f)=\mathcal{F}[e^x](f).\]
Quindi \(\mathcal{F}[e^x](f)=0\) per ogni \(f\ne 0\), perciò \(\mathcal{F}[e^x]\) deve essere uguale a \(\delta(f)\) o a una derivata \(\delta^{(k)}(f)\), per qualche intero \(k\). E questo non è possibile, perché l'antitrasformata di \(\delta^{(k)}\) è un polinomio, di grado \(k\); in conclusione, se fosse possibile trasformare \(e^x\) secondo Fourier dovrebbe aversi che \(e^x\) è un polinomio, e questo è assurdo.
Quindi, nel risolvere quell'equazione differenziale con il metodo della trasformata di Fourier, è perfettamente normale che tu stia perdendo tutte le soluzioni che contengono una esponenziale; ovvero, stai perdendo tutte le soluzioni tranne una, la soluzione costante.
\[
(e^x)'=e^x.\]
Se fosse possibile trasformare secondo Fourier membro a membro, si avrebbe
\[
2\pi j f \mathcal{F}[e^x](f)=\mathcal{F}[e^x](f).\]
Quindi \(\mathcal{F}[e^x](f)=0\) per ogni \(f\ne 0\), perciò \(\mathcal{F}[e^x]\) deve essere uguale a \(\delta(f)\) o a una derivata \(\delta^{(k)}(f)\), per qualche intero \(k\). E questo non è possibile, perché l'antitrasformata di \(\delta^{(k)}\) è un polinomio, di grado \(k\); in conclusione, se fosse possibile trasformare \(e^x\) secondo Fourier dovrebbe aversi che \(e^x\) è un polinomio, e questo è assurdo.
Quindi, nel risolvere quell'equazione differenziale con il metodo della trasformata di Fourier, è perfettamente normale che tu stia perdendo tutte le soluzioni che contengono una esponenziale; ovvero, stai perdendo tutte le soluzioni tranne una, la soluzione costante.
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