Corollario del teorema di Cauchy
Sul libro del mio docente, dopo essere stato enunciato e dimostrato il teorema integrale di Cauchy:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_integrale_di_Cauchy
Dice che un corollario di questo è che se $c1$ e $c2$ sono due circuiti regolari a tratti con $c2$ interno a $c1$, se $f$ è olomorfa nel dominio compreso tra i due circuiti allora l'integrale di linea di $f(z)$ calcolato per ognuno dei due circuiti è uguale.
Per dimostrarlo viene detto che basta considerare la curva $c=c1 U c2^-$ e non mostra neanche i passaggi.
Ora ho alcuni dubbi, questo 'c' è definito in maniera diversa al concatenamento di due curve, io dalla teoria non ho la minima idea di come trattare una curva formata dall'unione di due circuiti durante l'integrale.
Cosa significa che un circuito è interno ad un altro? Non ho nozioni neanche di questo, forse perché basta pensare ad esempio ad un cerchio che circonda un secondo cerchio senza che questi si tocchino?
^tipo questo, è giusto pensare questi circuiti così?
Come posso usare nella dimostrazione 'c' se il teorema linkato necessita di un circuito tra le ipotesi? Questa unione è un circuito? A me non sembra un circuito per come la sto immaginando.
Spero che qualcuno riesca a farmi chiarezza, grazie in anticipo!
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_integrale_di_Cauchy
Dice che un corollario di questo è che se $c1$ e $c2$ sono due circuiti regolari a tratti con $c2$ interno a $c1$, se $f$ è olomorfa nel dominio compreso tra i due circuiti allora l'integrale di linea di $f(z)$ calcolato per ognuno dei due circuiti è uguale.
Per dimostrarlo viene detto che basta considerare la curva $c=c1 U c2^-$ e non mostra neanche i passaggi.
Ora ho alcuni dubbi, questo 'c' è definito in maniera diversa al concatenamento di due curve, io dalla teoria non ho la minima idea di come trattare una curva formata dall'unione di due circuiti durante l'integrale.
Cosa significa che un circuito è interno ad un altro? Non ho nozioni neanche di questo, forse perché basta pensare ad esempio ad un cerchio che circonda un secondo cerchio senza che questi si tocchino?
^tipo questo, è giusto pensare questi circuiti così?
Come posso usare nella dimostrazione 'c' se il teorema linkato necessita di un circuito tra le ipotesi? Questa unione è un circuito? A me non sembra un circuito per come la sto immaginando.
Spero che qualcuno riesca a farmi chiarezza, grazie in anticipo!
Risposte
Come ti è stato enunciato il teorema integrale?
Che cos’è un “circuito”?
L’intuizione è giusta.
Dire che una curva “è interna ad un’altra” (che si suppone chiusa) è un modo come un altro per dire che tale curva giace tutta all’interno della regione piana limitata delimitata dalla curva chiusa.[nota]N.B.: Un teorema difficile, ancorché intuitivo, dice che ogni curva semplice chiusa divide i punti del piano in tre insiemi: quelli che stanno sulla curva, quelli che appartengono ad una regione limitata che ha per frontiera la curva, e quelli di una regione non limitata che ha per frontiera la curva.[/nota]
Che cos’è un “circuito”?
"Denondi":
Cosa significa che un circuito è interno ad un altro? Non ho nozioni neanche di questo, forse perché basta pensare ad esempio ad un cerchio che circonda un secondo cerchio senza che questi si tocchino?
^tipo questo, è giusto pensare questi circuiti così?
L’intuizione è giusta.
Dire che una curva “è interna ad un’altra” (che si suppone chiusa) è un modo come un altro per dire che tale curva giace tutta all’interno della regione piana limitata delimitata dalla curva chiusa.[nota]N.B.: Un teorema difficile, ancorché intuitivo, dice che ogni curva semplice chiusa divide i punti del piano in tre insiemi: quelli che stanno sulla curva, quelli che appartengono ad una regione limitata che ha per frontiera la curva, e quelli di una regione non limitata che ha per frontiera la curva.[/nota]
In maniera molto simile a wikipedia, riporto comunque la definizione a noi dataci:
Sia $ Asube C $ un aperto connesso e sia $f:A->C$ una funzione olomorfa. Allora $AA c$ circuito regolare a tratti la cui immagine (traccia) è contenuta in A tale che $c$ è la frontiera di un aperto D interamente contenuto in A:
$ oint_(C) f(z)dz=0 $
Un circuito è una curva chiusa e semplice. Cioè se c(t) è la curva definita su [a,b], allora è semplice se è iniettiva su [a,b) e chiusa se c(a)=c(b)
Sia $ Asube C $ un aperto connesso e sia $f:A->C$ una funzione olomorfa. Allora $AA c$ circuito regolare a tratti la cui immagine (traccia) è contenuta in A tale che $c$ è la frontiera di un aperto D interamente contenuto in A:
$ oint_(C) f(z)dz=0 $
Un circuito è una curva chiusa e semplice. Cioè se c(t) è la curva definita su [a,b], allora è semplice se è iniettiva su [a,b) e chiusa se c(a)=c(b)
Ti ringrazio per la definizione rigorosa, quindi posso dire che stavo pensando bene! Ma il mio problema rimane, come posso applicare il teorema se la curva che ottengo dall'unione non è un circuito (seconda la definizione a me data) e anche se potessi, se ho una curva che è l'unione di due curve, come si gestisce l'integrale? Io penso come se fosse la somma di due integrali, ognuno calcolato su un 'pezzo' di curva, e infatti da ignorante, dando tutto per buono i conti tornano, ma non sono soddisfatto!
Non dandomi pace, ho continuato a cercare enunciati del teorema di Cauchy e ho trovato che in teorema vale anche se $c$ è l'unione di 2 curve... purtroppo nel testo di riferimento non lo hanno scritto e sono andato un po' in confusione, ringrazio per il tempo dedicato e spero almeno che, per chi si ritroverà il mio testo, questa discussione possa essere un minimo utile.
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