Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti. Mi scuso in anticipo se commetto un errore, ma non so bene se è meglio postare questa discussione qui o nella sezione di geometria. In ogni caso: ho bisogno di una spiegazione della definizione di integrale di una \(n\)-forma su una varietà liscia \(M\).
In \(\mathbb{R}^n\) il discorso mi è chiaro: sfruttando l'identificazione \(\mathcal{C}^\infty\leftrightarrow\Omega_n\mathbb{R}^n\) data da \(f\leftrightarrow fdx_1\wedge...\wedge dx_n\), posso integrare una forma ...
Ciao a tutti, riguardando i miei appunti sugli spazi $L^p$, mi sono accorto che quando si dice che $L^p'$ è il duale di $L^p$ (se $1<p<+\infty$ e $1/p+1/p'=1$) e che $L^\infty$ è il duale di $L^1$, per quest'ultima cosa si aggiunge che lo spazio di misura deve essere $\sigma$-finito.
Ma quindi cosa succede se lo spazio non è $\sigma$-finito? Esistono spazi di misura per cui l'$L^\infty$ non è il duale di ...
Salve ragazzi, non riesco a procedere con un esercizio di segnali. Devo calcolare l'energia di Y(f) ma non so come procedere con il modulo al quadrato del segnale.
Il segnale di cui devo calcolare l'energia è : $ Y(f) = rect (f/B) + rect(f/B) e^(j pi f T) $
Per calcolare l'energia del segnale Y(f) utilizzo la formula : $ epsilon = int_(-infty)^(infty) |rect (f/B) + rect (f/B) e^(j pi f T)|^2 df $
adesso non riesco a procedere con l'integrale... ho provato a scrivere l'esponenziale $ e^ (j pi f T) $ come $ cos( pi f T) + j sen(pi f T) $
ma non so se è corretto... qualcuno mi aiuti
In un corso avanzato di probabilità abbiamo studiato le capacità, in particolare la lower probability.
In un esercizio mi viene chiesto di confrontare l'inviluppo inferiore dei valori attesi di una variabile aleatoria, al variare delle assegnazioni di probabilità coerenti, con l'integrale di choquet della suddetta variabile aleatoria rispetto alla lower probability.
Tuttavia il problema è che la mia variabile aleatoria è discreta ma a valori negativi, mentre le uniche definizioni di integrale ...
Il lemma di Scheffé è un risultato classico e facile. La versione per operatori è altrettanto interessante.
Problema. Sia \( \{ \psi_n\}_{n \ge 1} \) una base ortonormale di \( L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C}) \). Consideriamo \( \rho : L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \to L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \) lineare, limitato, autoaggiunto, con \[ \text{tr}(\rho)=\sum_{n=1}^\infty \langle \rho (\psi_n), \psi_n \rangle = 1 \]e \( \rho \ge 0\) ( - quest'ipotesi potrebbe essere superflua, ma lasciamola ...
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Studente Anonimo
23 apr 2019, 20:21
Ciao a tutti, sto leggendo un libro di meccanica in cui vi è un lungo excursus sulla geometria dello spazio. Ho parecchi dubbi perché il mio libro non è chiarissimo a riguardo, inoltre penso di avere qualche lacuna sui differenziali perché non ho inteso alcune affermazioni che di seguito riporto.
1) Da quello che ho capito (ma penso di aver capito male) la geometria differenziale si basa sul concetto di "elemento di linea" $\delta s$. Il libro che sto leggendo dice che ...
Esercizio:
Siano $p_1, p_2 \in [1, \infty)$ e sia $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che
\[ |\phi(s)| \le c_1+ c_2|s|^{p_1/p_2} \quad \text{ per ogni } s \in \mathbb{R} \]
Si dimostri che se $f_n \to f$ in \( L^{p_1}((0,1)) \) allora $\phi(f_n) \to \phi(f)$ in \( L^{p_2}((0,1)) \).
Scusate, ieri ho postato questo esercizio ma ho sbagliato alcune cose nel testo e allora l’ho riscritto e ripostato.
Ciao! Chi mi può dare due dritte con questo esercizio?
Indichiamo con $M$ la $σ$-algebra di Borel su $\mathbb{R}$ rispetto alla topologia cofinita (ossia alla topologia su $\mathbb{R}$ i cui elementi diversi dall’insieme vuoto sono tutti e soli i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ aventi complementare finito). Sia inoltre ...
Ciao!
devo dimostrare questo fatto.
supponiamo di avere uno spazio $(X,Sigma,mu)$ una successione di funzioni $f_n:X->RR$ misurabili che converge puntualmente a $f:X->RR$ e supponiamo che esista $g in L^1(X,mu)$ tale che $|f_n|leqg$ allora
$lim_(n->+infty)int_X|f-f_n|dmu=0$
dimostrazione
suppongo che $g<+infty$ per adesso
essendo $|f_n|leqg$ allora $int_Xabs(f_n)dmuleqint_Xgdmu<+infty => f_n in L^1(X,mu)$ per tutti gli $n in NN$
lo stesso vale per $f$.
Si può considerare che ...
Ciao!
consideriamo uno spazio misura $(X,Sigma,mu)$ e una funzione $f:Xtimes[a,b]->RR$ tali che valgano le seguenti proprietà
$1)$ per ogni $t in [a,b]$ si ha $f(*,t)$ misurabile
$2)$ per ogni $x in X$ si ha $f(x,*)$ continua
$3)$ esiste $g in L^1(X,mu)$ tale che $abs(f(x,t))leqg(x)$ per ogni $(x,t) in Xtimes[a,b]$
allora la funzione $F(t)=int_Xf(x,t)dmu$ è continua
dimostrazione
dalla $3$ otteniamo che per ...
Buonasera a tutti,
vi scrivo perché ho alcuni dubbi riguardanti la determinazione a priori delle proprietà della trasformata di Fourier nella teoria \(L^2\)
In teoria \(L^1\) si sapeva che data \( f(x) \) continua, derivabile a tratti e tendente a 0 a \( \pm \infty \) la sua trasformata di Fuorier \( \hat{f} (\xi) \) è \( o(1/ \xi ) \) per \( xi \rightarrow \pm \infty \) esiste qualcosa di 'simile' in teoria \(L^2\) ?
La domanda nasce dal fatto che mi sono ritrovato a F-trasfomare la ...
Buonasera,
stavo risolvendo questa equazione differenziale di 3 grado con la particolare presenza di una funzione a gradino ritardata.
\(\displaystyle 2Y'''(t)-Y''(t)=F(t) \)
F(t) è una funzione gradin ritardata così definita:
\(\displaystyle F(t)=1; t\geq1 \)
\(\displaystyle F(t)=0; t\leq1 \wedge t\geq0\)
E' chiaro che la trasformata della funzione gradino è e^(-s)/s
Il problema è che la funzione risultante \(\displaystyle y(s)=[(2+(1/(s*e^s))/(s^2*(2s-1))] \), scomponendola in fattori ...
Salve a tutti! Non riesco a risolvere questa identità vettoriale con la notazione di Einstein
$\ 1/2 grad$$(a*a) = (a * grad) a + a xx (grad xx a)$
gentilmente qualcuno di questo forum può risolvere questa formula e riportare i calcoli? Vi ringrazio anticipatamente
Ciao!
studiando la probabilità condizionata ho notato che si tratta di una misura di probabilità su un sottospazio ma non trovo nulla in merito. Mi chiedevo se fosse l'unica misura che donasse ad un "evento" la struttura di spazio di probabilità(considerando la $sigma$-algebra di sottospazio).
Sapete dirmi qualcosa in merito o magari indirizzarmi su qualche testo che tratti l'argomento in questi termini?
salve,
non riesco proprio a capire l'idea che sta dietro la trasformata di fourier, capisco che se abbiamo una funzione periodica essa puo essere scritta come somma di coseni e quindi nello spettro delle frequenze vedrò le frequenze di questi coseni, però non riesco a comprendere l'estensione di questo concetto alle funzioni non periodiche, cosa significa che una funzione non periodica ha una certa frequenza piuttosto che un'altra?
grazie
Buongiorno
Vorrei chiedere un aiuto su un esercizio occorso nella prova d'esame di qualche giorno fa nel mio ateneo. C'è l'ultimo punto di questo esercizio (l'integrale) che non capisco come approcciare, ma ora la curiosità è molta.
La mia soluzione che ho pensato stamattina è che:
essendo la delta di dirac pari posso estendere da -infinito a infinito moltiplicando per 1/2
Applicando le proprietà di tale distribuzione avrei: $-1/2\int_\gammag(z)+5/12 dz$ e siccome 5/12 non ha residuo ...
- Introduzione -
Vista la crescente richiesta di chiarimenti su tale argomento, ho pensato di scrivere qualcosa che riassumesse alcuni fatti elementari (a me noti ed oltremodo utili da applicare negli esercizi) sulla classificazione degli zeri e delle singolarità delle funzioni olomorfe.
Mi propongo di strutturare questo thread come segue:
[list=1][*:2udtx1p0] a parte questa breve introduzione ed un paragrafo sulle notazioni, il primo post è dedicato alla classificazione degli zeri delle ...
Ciao a tutti di nuovo, vorrei chiedere una mano su questo esercizio per cui trovo diverse difficoltà, ringrazio chi avrà voglia di aiutarmi già da ora
1. Discutere le proprietà di analiticità al finito e all’infinito della funzione
$f(z) =(z^2-1)/(z^n-1)$ al variare del parametro intero $n >0$.
2. Calcolare i residui di $f(z)$in ogni singolarità isolata, sia al finito sia all’infinito.
3. Fissato $n= 3$, verificare che la somma di tutti i residui è nulla.
4. ...
ciao ragazzi devo svolgere il seguente esercizio:
Data la funzione: $f(z)= (z+1)/((z-1)(z+2))$ determinare il suo sviluppo in serie di Laurent in $0<|z|<1$ e in $1<|z|<2$.
non avendo il risultato volevo sapere se il ragionamento e i calcoli sono corretti.
scrivo $f(z)$ in fratti semplici
$f(z)= A/(z-1)+ B/(z+2)$
$A=lim_(z->1)(z-1)*(z+1)/((z-1)(z+2))= 2/3$
$B=lim_(z->-2)(z+2)*(z+1)/((z-1)(z+2))=1/3$
procedo con lo sviluppo in serie nell' invervallo $0<|z|<1$
$1/(z-1)=-1/(1-z)=-sum_{n=0}^\infty\z^n => -Asum_{n=0}^\infty\z^n = -2/3sum_{n=0}^\infty\z^n$
$1/(z+2)=1/(2(1+z/2))=1/2*1/(1-(-z/2))=1/2sum_{n=0}^\infty\(-1)^n(z/2)^n=sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^n/2^(n+1)=>$ ...
Continuo ad avere problemi con i punti all'infinito, in particolare non mi torna qualcosa riguardo al residuo. Ho visto anche la nuova guida di gugo che è ottima e mi ha chiarito diversi dubbi esistenziali.
La definizione è:
Si dice residuo del punto all'infinito $-1/(2pii)\int_(\gamma) f(z) dz$
il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore ...
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