Integrale complesso con taglio
Salve a tutti.
Provando a vedere alcuni testi d'esame di una prova che dovrò fare mi sono imbattuto in questo integrale che ho trovato difficoltà a risolvere.
$ \int_0^1 x log(\frac{1-x}{x})dx$
Tra i suggerimenti viene scritto di usare la funzione ausiliaria logaritmica e di ricordare il calcolo della discontinuità nel caso di $\sqrt ((z-a)(z-b))$ (non capisco cosa c'entri la radice in questo caso); infine viene detto di usare come percorso di integrazione quello "ad osso di cane", per intenderci quello con due segmenti sopra e sotto il taglio e le circonferenze che abbracciano i punti di diramazione
Chi ha qualche idea?
Provando a vedere alcuni testi d'esame di una prova che dovrò fare mi sono imbattuto in questo integrale che ho trovato difficoltà a risolvere.
$ \int_0^1 x log(\frac{1-x}{x})dx$
Tra i suggerimenti viene scritto di usare la funzione ausiliaria logaritmica e di ricordare il calcolo della discontinuità nel caso di $\sqrt ((z-a)(z-b))$ (non capisco cosa c'entri la radice in questo caso); infine viene detto di usare come percorso di integrazione quello "ad osso di cane", per intenderci quello con due segmenti sopra e sotto il taglio e le circonferenze che abbracciano i punti di diramazione
Chi ha qualche idea?
Risposte
Ciao rdlf,
La prima idea che mi viene in mente è che l'integrale proposto è del tipo seguente:
$ \int_a^b x log(\frac{b-x}{x - a})\text{d}x $
ove $b = 1 > a = 0 $, per cui porrei $ t := \frac{b-x}{x - a} \implies x = (at + b)/(t + 1) \implies \text{d}x = - \frac{b-a}{(t + 1)^2} \text{d}t $ in modo da aversi
$ \int_a^b x log(\frac{b-x}{x - a})\text{d}x = \int_{+\infty}^0 (at + b)/(t + 1) log t \cdot [- \frac{b-a}{(t + 1)^2} \text{d}t] = (b - a) \int_0^{+\infty}(at + b)/(t + 1)^3 log t \text{d}t $
L'ultimo scritto è un integrale del tipo seguente:
$\int_0^{+\infty} R(t) log t \text{d}t = - 1/2 \sum \text{Res}[R(t) (log t - i\pi)^2 ] $
ove $R(t) $ è una funzione razionale e la somma è estesa ai residui della funzione $R(t) (log t - i\pi)^2 $
Nel caso in esame $R(t) := 1/(t + 1)^3$ e dato che $\sum \text{Res}[1/(t + 1)^3 (log t - i\pi)^2 ] = 1 $ si ottiene:
$ \int_0^1 x log(\frac{1-x}{x}) \text{d}x = - 1/2 $
L'integrale indefinito corrispondente a quello proposto è anche calcolabile elementarmente mediante integrazione per parti e si ottiene:
$ \int x log(\frac{1-x}{x}) \text{d}x = 1/2 [x^2 log((1 - x)/x) - x - log(1 - x)] + c $
"rdlf":
Chi ha qualche idea?
La prima idea che mi viene in mente è che l'integrale proposto è del tipo seguente:
$ \int_a^b x log(\frac{b-x}{x - a})\text{d}x $
ove $b = 1 > a = 0 $, per cui porrei $ t := \frac{b-x}{x - a} \implies x = (at + b)/(t + 1) \implies \text{d}x = - \frac{b-a}{(t + 1)^2} \text{d}t $ in modo da aversi
$ \int_a^b x log(\frac{b-x}{x - a})\text{d}x = \int_{+\infty}^0 (at + b)/(t + 1) log t \cdot [- \frac{b-a}{(t + 1)^2} \text{d}t] = (b - a) \int_0^{+\infty}(at + b)/(t + 1)^3 log t \text{d}t $
L'ultimo scritto è un integrale del tipo seguente:
$\int_0^{+\infty} R(t) log t \text{d}t = - 1/2 \sum \text{Res}[R(t) (log t - i\pi)^2 ] $
ove $R(t) $ è una funzione razionale e la somma è estesa ai residui della funzione $R(t) (log t - i\pi)^2 $
Nel caso in esame $R(t) := 1/(t + 1)^3$ e dato che $\sum \text{Res}[1/(t + 1)^3 (log t - i\pi)^2 ] = 1 $ si ottiene:
$ \int_0^1 x log(\frac{1-x}{x}) \text{d}x = - 1/2 $
L'integrale indefinito corrispondente a quello proposto è anche calcolabile elementarmente mediante integrazione per parti e si ottiene:
$ \int x log(\frac{1-x}{x}) \text{d}x = 1/2 [x^2 log((1 - x)/x) - x - log(1 - x)] + c $
Soluzione esatta! Grazie mille!
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