Convergenza serie di Fourier
riuscireste a spiegarmi meglio come ha verificato la convergenza puntuale? perché proprio non capisco da queste soluzioni
Risposte
[xdom="gugo82"]A meno che non sia strettamente necessario, è buona norma scrivere i testi degli esercizi sul forum, anziché linkare fotografie (difatti, dopo alcuni anni i link vengono disattivati dai servizi di hosting ed i thread risultano monchi ed illeggibili).
Ti chiedo di scrivere in chiaro il testo, grazie.[/xdom]
Ti chiedo di scrivere in chiaro il testo, grazie.[/xdom]
Si consideri la funzione definita da $ f(x)=x^3 $ per $ x in(-1,1) $ e prolungata a tutto $ RR $ con periodicità 2:disegnare il grafico di $ f $ sull’intervallo $ (-2,2) $ . Determinare la serie di Fourier di $ f $ e il suo limite puntuale; stabilire poi se la serie converge in media quadratica e/o uniformemente.
Soluzione:
$ sum_(n =1)^(n=oo)(2(-1)^n)/(npi )(6/(n^2pi^2)-1)sin(npix) $
La serie converge puntualmente a $ f(x) $ se $ x!=2k+1 $ con $ k inzeta $ e converge a 0 se $ x=2k+1 $.
Per la discontinuità di $ f $ la convergenza non puo` essere uniforme. Dato che $ int_(-1)^(1) f^2 dx
riuscireste a spiegarmi meglio come ha verificato la convergenza puntuale? perché proprio non capisco da queste soluzioni
Soluzione:
$ sum_(n =1)^(n=oo)(2(-1)^n)/(npi )(6/(n^2pi^2)-1)sin(npix) $
La serie converge puntualmente a $ f(x) $ se $ x!=2k+1 $ con $ k inzeta $ e converge a 0 se $ x=2k+1 $.
Per la discontinuità di $ f $ la convergenza non puo` essere uniforme. Dato che $ int_(-1)^(1) f^2 dx
riuscireste a spiegarmi meglio come ha verificato la convergenza puntuale? perché proprio non capisco da queste soluzioni
Che teoremi conosci sulla convergenza delle serie di Fourier?
$ sum_(n =1)^(oo)abs(a_n)+abs(b_n)
$ a_n,b_ndarr 0rArr $ convergenza puntuale
$ int f^2
con. totale $ rArr $ conv. uniforme $ rArr $ conv. media quadratica $ rArr $ conv. puntuale
$ a_n,b_ndarr 0rArr $ convergenza puntuale
$ int f^2
con. totale $ rArr $ conv. uniforme $ rArr $ conv. media quadratica $ rArr $ conv. puntuale
"FabioA_97":
$ a_n,b_ndarr 0rArr $ convergenza puntuale
Verso quale funzione?
"FabioA_97":
con. totale $ rArr $ conv. uniforme $ rArr $ conv. media quadratica $ rArr $ conv. puntuale
Sull’ultima implicazione non sono proprio d’accordo, a meno di non specificare la risposta alla domanda precedente.
mi riferisco alla funzione f(x) di partenza
ps. per piacere potresti controllare anche quest'altro mio post? https://www.matematicamente.it/forum/vi ... a682382a82
mi sembra una cosa abbastanza veloce che non riesco a capire
mi sembra una cosa abbastanza veloce che non riesco a capire
"FabioA_97":
mi riferisco alla funzione f(x) di partenza
Infatti, no, non è quello (in generale) il limite puntuale di una s.d.F...
In generale, anche se una s.d.F. di una funzione periodica $f(x)$ converge puntualmente, non converge ovunque verso $f(x)$.
Il limite puntuale di una s.d.F. è la funzione $f^** (x) := (f(x+) + f(x-))/2$ in cui:
\[
f(x\pm ) = \lim_{h \to 0^\pm} f(x+h) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} f(x \pm \varepsilon)
\]
sono i limiti destro e sinistro di $f$ in $x$.
grazie mille
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