Studio carattere di una serie a termini di segno variabile
Buongiorno, ho un problema con questo esercizio:
$ sum_(n = \1)^(oo) e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $
Sapendo che il seno di n è compreso tra -1 ed 1 ho risolto in questo modo:
$ e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn <= e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $
Considerando le stime asintotiche ottengo:
$ e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn ~ e* 1/n * !/sqrtn = e/n^(3/2) $
A questo punto il mio libro riporta che, per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 3/2 la serie di partenza converge assolutamente.
Il mio dubbio è questo: come posso affermare che la serie $ sum(e/n^(3/2)) $converge se vale la relazione $ sum(e/n^(3/2)) > sum(1/n^(3/2)) $ ?
Grazie in anticipo!
$ sum_(n = \1)^(oo) e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $
Sapendo che il seno di n è compreso tra -1 ed 1 ho risolto in questo modo:
$ e^sinn(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn <= e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn $
Considerando le stime asintotiche ottengo:
$ e(sin(1/n))(e^(1/sqrtn)-1)cosn ~ e* 1/n * !/sqrtn = e/n^(3/2) $
A questo punto il mio libro riporta che, per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 3/2 la serie di partenza converge assolutamente.
Il mio dubbio è questo: come posso affermare che la serie $ sum(e/n^(3/2)) $converge se vale la relazione $ sum(e/n^(3/2)) > sum(1/n^(3/2)) $ ?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao simonalai,
Le due serie che hai scritto hanno il medesimo comportamento:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e/n^{3/2} = e \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.
Devi considerare la serie dei valori assoluti perché $sin(1/n) $ e $cos n $ possono anche essere negativi... Però sai che se una serie è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente, mentre non vale il viceversa.
Le due serie che hai scritto hanno il medesimo comportamento:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e/n^{3/2} = e \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.
Devi considerare la serie dei valori assoluti perché $sin(1/n) $ e $cos n $ possono anche essere negativi... Però sai che se una serie è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente, mentre non vale il viceversa.
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