2 serie di un testo di esame
Buongiorno a tutti e buon anno! Vorrei proporvi 2 serie, di cui ne ho risolta una, ma non sono sicuro sul procedimento:
$1) \sum_{n=1}^infty((1+n)^(n-1) log(e^(-n) +1))/(n!)$. Ho visto che con il criterio del rapporto/radice non si ottiene nulla, ho quindi provato con delle stime asintotiche, ponendo $(1+n)^(n-1) = ((1+n)^n)/(1+n) = (n^n)/n = n^(n-1), n->+infty$, e $log(e^(-n) +1) = e^(-n)$. Anche così però non ho saputo granchè come procedere, avreste suggerimenti?
$2) \sum_{n=1}^infty(-1)^n 1/(2n-15)$. Ho applicato il criterio di Leibniz, e nel dimostrare che $An$ è decrescente, ho notato che lo è solo per $n>=8$, quindi la serie $\sum_{n=8}^infty(-1)^n 1/(2n-15)$ è convergente, e quindi anche la serie originale è convergente. Corretto?
$1) \sum_{n=1}^infty((1+n)^(n-1) log(e^(-n) +1))/(n!)$. Ho visto che con il criterio del rapporto/radice non si ottiene nulla, ho quindi provato con delle stime asintotiche, ponendo $(1+n)^(n-1) = ((1+n)^n)/(1+n) = (n^n)/n = n^(n-1), n->+infty$, e $log(e^(-n) +1) = e^(-n)$. Anche così però non ho saputo granchè come procedere, avreste suggerimenti?
$2) \sum_{n=1}^infty(-1)^n 1/(2n-15)$. Ho applicato il criterio di Leibniz, e nel dimostrare che $An$ è decrescente, ho notato che lo è solo per $n>=8$, quindi la serie $\sum_{n=8}^infty(-1)^n 1/(2n-15)$ è convergente, e quindi anche la serie originale è convergente. Corretto?
Risposte
Per 1, usa Stirling.
Per 2, ok.
Per 2, ok.
Ti ringrazio. Stirling l'avevamo appena accennato, e non lo ricordavo. Mi è uscito anche il primo esercizio
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