Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Buongiorno a tutti,
avrei alcune domande circa lo studio dei massimi e minimi di una funzione in due variabili definita in un compatto:
1) In un dominio aperto, i punti critici sono tutti e soli quelli che annullano il gradiente di f o vanno ricercati anche in altro modo?
2) So che esistono due metodi per il calcolo dei massimi e minimi vincolati, quello della restrizione di f alla frontiera e quello dei moltiplicatori di Lagrange. Da quel che ho capito, il primo è utile quando il vincolo è ...
salve, il quesito che vi pongo nasce dalla lettura di un testo di teoria dei sistemi ma è squisitamente matematico.
si parte dalla soluzione di un`equazione differenziale del primo ordine
f'(x)+f(x)+c=0
l'autore la deriva per eliminare c e risolverla con Laplace.
f''(x)+f'(x)=0
perché fare una cosa del genere non si perde qualcosa derivando?
Leggendo un articolo di relatività, mi sono imbattuto in questo limite :
$\lim_(\taurarr\infty) (a^2d cosh (a\tau) ) / \sqrt(a^2d^2senh^2(a\tau) +1 ) $
che l’autore pone senza indugi uguale ad $a$ . Sia $a$ che $d$ sono costanti positive, e la variabile è $\tau>0$.
Ho fatto alcuni passaggi, razionalizzando la funzione , e sono arrivato a dire che quanto sopra è uguale a :
$a*\lim_(\taurarr\infty) sqrt ( (cosh^2(a\tau))/(senh^2(a\tau) + 1/(a^2d^2) ) ) $
a questo punto chiedo : siccome il seno iperbolico e il coseno iperbolico tendono a infinito ( nel mio caso ...
ciao a tutti,
sto preparando l'esame di analisi 2 e mi sono imbattuta in un esercizio che mi chiede di calcolare l'integrale di f(x) in A, definiti come segue:
$A={(x, y, z)∈R^3: x^2+y^2≤z≤1}, f(x)=e^(z^2)$
ho definito $0≤z≤1, -1≤y≤1, -sqrt(1-y^2)≤x≤sqrt(1-y^2)$ e integrato per sostituzione in x e in y e mi sono ritrovata a dover integrare $e^(z^2)$ per z che varia tra 0 e 1 ma non so proprio come fare.
potreste aiutarmi?
Ciao
Mi scuso per la domanda un po' poco precisa però provo a spiegarmi meglio nel testo. Innanzitutto ho usato cerca e trovato questa discussione che è proprio simile al mio dubbio https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8461599
Tuttavia pur avendola letta non l'ho ancora ben capita e spero di poterne discutere per avere qualche chiarimento.
Il mio dubbio ruota, riassumendo, sul fatto che non riesco a capire il motivo per cui in generale una proprietà dimostrata vera per ogni n non è detto sia vera anche per ...
Salve a tutti. Pensando ai punti del dominio di una funzione in cui la derivata è infinita (tangente verticale), mi sono posto il seguente quesito, curioso di sapere se finirà nella sezione "controesempi in analisi", oppure se la tale congettura è dimostrabile: sia una funzione $ f(x) $, e un punto $ c $ del dominio in cui essa è continua, e tale per cui la derivata destra è uguale a $ +oo $; è possibile dimostrare l'esistenza di un intorno destro bucato di ...
Buongiorno a tutti,
Per verificare l'esistenza di un limite in due variabili, spesso capita di dover definire le parabole passanti per un dato punto. Mentre con le rette il calcolo del fascio è immediato, con le parabole trovo difficoltà. Fin'ora ho sempre considerato l'equazione canonica e cercato "manualmente" i parametri che la verificassero, ma mi domando se esista un procedimento più efficiente e intelligente per giungere alla restrizione desiderata. Mi rendo conto che sia una domanda ...
Salve, ho un altro problema con i limiti.
Stavo facendo delle simulazioni d'esame e mi sono imbattuto in un limite che non so risolvere:
$ lim_(x -> 0) (1+x/((x-1)^2))^(1/(sqrt(1+x)-1)) $
Dato che e' un quiz a risposta multipla mi sono limitato a risolvere l'esponente con il limite notevole adatto:
$1/(sqrt(1+x)-1) ~ 1/(1/2x) = 2/x $
Posso quindi riscrivere il limite nella forma
$ lim_(x -> 0) ((1+x/((x-1)^2))^(1/x))^2 $
e quindi ho sperato che si potesse riscrivere il limite nella forma $(1+f(x))^(1/f(x))$ cosi da avere $e^2$ che e' effettivamente la ...
Buonasera a tutti, mi aiutate con questi due quesiti?
1) Il campo scalare $f(x,y)$ ha $A$ come punto di minimo e $B$ come punto di sella. Allora il campo scalare $g(x,y)=arctan(- f(x,y))$ ha i punti $A$ e $B$ come punti di massimo minimo o sella?
2) Il campo scalare $f(x,y)$ ha $A$ come punto di massimo e $B$ come punto di sella. Allora il campo scalare $g(x,y)=e^f(x,y)$ ha i punti ...
Buonsera a tutti,
Dovendo calcolare il limite di una funzione per valori di x tendenti a più o meno infinito, se compaiono termini che non ammettono limite in tali condizioni ma che hanno immagine finita, è possibile valutarli come valori finiti seppur indeterminati? Ad esempio, il $\lim_{n \to \infty}x/sin(x)$ è indeterminato o tende a più infinito, essendo il rapporto tra un valore tendente ad infinito e uno finito?
Ciao a tutti, ho svolto la seguente dimostrazione: dimostrare che la somma dei quadrati dei primi n numeri interi positivi n è pari a $ (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ P(n) $ $ 1^2+2^2+3^2+...+n^2= (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ P(1) $ $ 1=(1(1+1/2)(1+1))/3 $
$ 1=(1(3/2)(2))/3 $
$ 1=3/3 $
$ 1=1 $ vera
$ P(n+1) $ $ 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2= (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ (n(n+1/2)(n+1))/3+(n+1)^2=((n+1)(n+1+1/2)(n+1+1))/3 $
$ (n(n+1/2)(n+1))/3+(n+1)^2=((n+1)(n+3/2)(n+2))/3 $
Quindi
$ (n(n+1/2)(n+1)+3(n+1)^2)/3 $
$ (n+1)(n(n+1/2)(n+1)+3(n+1))/3 $
$ (n+1)(n^2+1/2n+3n+3)/3 $
$ (n+1)(n^2+7/2n+3)/3 $
...
Salve a tutti,
questo limite
$lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x}$ lo risolvo facilmente con De L'Hopital: $lim_{x \to pi/4} {sinx+cosx}/{4cos4x}=-sqrt(2)/4$. Ma ho voluto capire come potessi risolverlo solo coi notevoli, e pur provando con diverse sostituzioni non sono riuscito ad arrivare a nulla di buono, mi dareste un idea?
In un secondo limite, invece, non comprendo dove commetto l'errore, trovandomi sia coi notevoli che con De L'Hopital lo stesso risultato ma con segno opposto.
$lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2}$
Pongo $y=1/(x-2)$ e osservo che per ...
Buongiorno, avrei una domanda che mi affligge da tempo, ed essendo che a breve ho l'esame di Analisi 2 vorrei risolverlo al più presto.
Da quel che ho capito, un insieme (n-dimensionale) A aperto si dice connesso se:
\[\nexists A_1, A_2:\ A\subseteq{A_1}\cup A_2,\ A_1\cap{A_2}=\emptyset\]
Adesso, un insieme A aperto si dice connesso per archi se
\[\forall x,y\in A, \exists\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^n\ t.c.\ \gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y, \gamma(t)=A, \forall x,y\in A\]
Inoltre, se un insieme A ...
Nel tentativo di determinare $lim_{x \to 0} {1-cos(log(1+x))}/(x^{2}+sin^{4}3x)$
riscrivo il limite come segue, per utilizzare alcuni notevoli:
$lim_{x \to 0} (1-cos(log(1+x)))/log^{2}(1+x) log^{2}(1+x)/x^{2} 1/{1+(sin^{4}3x)/{(3x)^4}3^{4}x^{2}}$
Ora, dei tre fattori, per $x$ che tende a $0$, il primo tende a $1/2$ e gli altri due a $1$. Quindi il limite è $1/2$ che è il risultato corretto.
Tuttavia, se utilizzo gli o-piccolo, giungo alla forma ${o(x)}/{o(x)}$, avendo al denominatore tutti $o(x)$ e al numeratore ...
Buongiorno, torno dopo qualche tempo sul forum per una richiesta di aiuto con un limite di cui non riesco a trovare una soluzione completa... Il limite in questione è quello della successione \[(a_n)_{n>0}=\left(\left(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}{e}\right)^n\right)_{n>0}\] che (soluzione alla mano) tende a \(\sqrt e\). Evidentemente, si genera una forma indeterminata del tipo \([1^\infty]\) quindi ho pensato di impiegare i log o arrivare addirittura alla ricerca diretta dell'estremo superiore ...
Buonasera a tutti
Come si risolve questo esercizio?
Per quale valore di $a$ la serie $\sum ln(1+n^a)$ converge?
io ho pensato:
$\sum ln(1+n^a) = ln(1+1/n^-a)$ $\cong 1/n^(-a)$ e converge per $-a>1$ $\rightarrow$ $a<-1$
Infatti per confronto, anche $\sum 1/n^a$ converge per $a>1$ e diverge per $a<=1$
Non sono sicuro però, non ho molta dimestichezza con le serie... è giusto? altrimenti, come procedere?
Buonasera, non riesco a risolvere i seguenti limiti:
$ lim_(x -> 4+) (sqrt(1+(sqrt(x)-2))-1)/(e^(x^2-16)-1) $
e
$ lim_(x -> 1) (xe^(tan(x-1))-e^ln(x))/ln(1+arcsin(x-1) $
Per il primo ho provato ad usare i limiti notevoli adatti per arrivare a:
$((sqrt(x)-2)/2)/(x^2-16)$ ma non so come continuare.
Per il secondo ho provato di nuovo con i limiti notevoli arrivando a:
$(xe^(x-1)-e^x)/(x-1)$ ma non trovo un modo per raccogliere le e in modo da avere un limite notevole
Ciao a tutti, sto svolgendo un esercito sulle equazioni differenziali e mi è richiesto di considerare la soluzione del problema di Cauchy al variare del parametro reale $ alpha $ .
Ecco il problema di Cauchy:
$ { ( y'=(2y+y^2)/(1+x^2) ),( y(0)=alpha ):} $
Io ho trovato la soluzione finale, che è
$ y(x)=(2e^(2arctg(x)))/(((2+alpha)/(alpha))-e^(2arctg(x))) $
La mia domanda è: il primo punto è finito qui così? Nel senso, devo discutere ulteriormente il parametro alpha? L'unica cosa che mi è venuta in mente è stata quella che per alpha=-2 la soluzione ...
Buonasera a tutti.
Devo risolvere i seguenti esercizi:
Considero il primo esercizio che ho svolto, visto che la metodologia sarà simile per tutti.
Ho provato a sviluppare ogni funzione con McLaurin (fino al terzo grado), ottenendo:
$ sin (x)^2 = x^2 + o(x^4) $
$ cos (x^2) = 1 + o(x^4) $
$ ln (1+x) = x-x^2/2+x^3/3 + o(x^4) $
Sostituendo, mi si annulla il numeratore; al denominatore, avendo il limite per 0, considero il termine dello sviluppo del logaritmo di grado minore, ottenendo alla fine:
...
La domanda proviene da un esercizio riguardante i limiti usando il teorema del confronto su questa successione:
l = 0 (limite tende a zero per la successione )
$ b_n = ( sen (n) ) / n $
$ |b_n| <= c_n $
$ a_n = - c_n $ $ , l = 0 $
La risoluzione sarebbe...
$ |b_n| <= (|sen(n)|)/ |n| $
$ |b_n| <= (1)/ n $
$ c_n -> 0 $ , per $ n -> oo $
$ lim_(n-> oo )b_n = 0 $
Perchè il $ |sen(n)| <= 1 $ ?
Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi tutto l'esercizio nel dettaglio con i singoli ...
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