Analisi matematica di base

Premesso che non ho studiato analisi complessa, ho notato che la definizione di integrale e la sua relazione con la derivata si mantengono invariati se invece di pensare a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{R} \) si pensa a funzioni \(\displaystyle f:X\subset \mathbb{C} \) (purché si estanda implicitamente la definizione di limite a questo tipo di funzioni, cosa totalmente gratuita). Dunque ciò che è cruciale è che il dominio continui a essere \(\displaystyle \mathbb{R} \). A questo ...

Buonasera, qualcuno potrebbe controllare se ho risolto il seguente esercizio nel modo corretto? Data l'equazione differenziale $y'=x^2/(2y^2+1)+4$, discutere l'esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy ad essa associati, studiare la monotonia delle soluzioni e il loro intervallo massimale di definizione. $f(x,y)=x^2/(2y^2+1)+4$ è definita su tutto $\mathbb{R}^2$ $f in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$ quindi f è continua e lipschitziana in y uniformemente rispetto a x (è corretto dire che per mostrare ...

Ciao, cercando di rispondermi a un dubbio con il forum sono giunto a questa conversazione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8462980 , in particolare mi interessa capire di più riguardo a: "pilloeffe":la soluzione dell'equazione differenziale seguente: $\ddot{x}(t) + 2\zeta \omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 $ ove $\omega_n := \sqrt{k/m}$ e $ c/m = 2\zeta \omega_n $ Si trova che la soluzione di tale equazione è la seguente: $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (c_1 e^{sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t} + c_2 e^{- sqrt{\zeta^2 - 1}\omega_n t}) $ Ora se $c^2 < 4mk \implies \zeta^2 - 1 < 0 $ (il che accade anche nel caso particolare $\zeta = 0 $) la soluzione può essere ...

So che una curva per essere regolare deve avere almeno una parametrizzazione $\vec r (t)$ tale che: - ha componenti continue con derivate continue - la sua derivata non si deve annullare Se volessi dimostrare che una curva non è regolare non posso certo usare questa definizione perchè dovrei far vedere che nessuna delle infinite parametrizzazioni possibili ha queste caratteristiche; per esempio, sul libro c'è una funzione $y=root(3)(x^2)$: che se ho capito bene ...

Ciao a tutti, sto svolgendo i primi esercizi sui sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. La tecnica risolutiva spiegata a lezione risulta essere quella classica. Il sistema è il seguente : $ { ( x'(t)=3x-4y ),( y'(t)=x-y ):} $ Gli autovalori della matrice risultano : $ lambda =1 $ con molteplicità algebrica pari a 2. Quindi per le soluzioni ottengo una combinazione lineare del tipo : $ x(t)=C1e^t+C2te^t$ $y(t)=C3e^t+C4te^t$ Ho due costanti di troppo, derivo la soluzione y(t), ...

Salve a tutti, Stavo risolvendo un problema di elettrodinamica quando sono incappato in due serie infinite abbastanza curioso. Il problema sarebbe un solenoide infinito in cui scorre una corrente \(\displaystyle I(t)=I_0e^{i\omega t} \), ma la cosa davvero interessante sono le soluzioni che ottengo per i campi elettromagnetici, in coordinate cilindriche: \(\displaystyle \vec{E}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}{E}_{2k+1}\hat{\phi} \) e \(\displaystyle \vec{B}(r,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\vec{B}_{2k} ...

Buon pomeriggio, mi trovo in difficoltà con un esercizio su un integrale triplo. Il testo è questo: Sia T = $ {(x,y,z) in R^3 : -1<= z <= 1, x^2+y^2 <=1} $. Calcolare l'integrale: $ int int int_T (x^2+y^2)dx dy dz $ Mi trovo principalmente in difficoltà nell'impostare l'integrale, cioè a capire che forma abbia, e non riesco a capire come dividerlo. Ho proceduto a farlo diventare: $ int_(-1)^(1) dz int int_(x^2+y^2<=1) (x^2+y^2) dxdy $, ma da qui in poi non so più che fare, forse trasformandolo in coordinate sferiche o polari mi risulterebbe più ...

Per cortesia qualcuno potrebbe spiegarmi come rislovere la serie $\sum_{n=1}^\infty((sqrt 2)-1)^(2n)$ Grazie

Una successione $ x_n $ di punti di uno spazio metrico $ (X,d) $ converge ad un punto $ x_0\inX $ se $ lim_{n \to \infty}d(x_n,x_0)=0 $ ovvero se $ \forall\epsilon>0\existsn_0\inN:d(x_n,x_0)<\epsilon\foralln>n_0 $. Equivalentemente $ x_n->x_0 $ se, con $ \epsilon>0 $ , $ \forallB_\epsilon(x_0)\existsn_0\inN:x_n\inB_\epsilon(x_0)\foralln>n_0 $ Una successione $ x_n $ di punti di uno spazio metrico $ (X,d) $ si dice limitata se esistono $ x_0\inX $ ed $ r>0 $ tali che $ x_n\inB_r(x_0)\foralln\inN $ Prendiamo ad esempio $ R $ munito di ...

Salve, devo provare che la seguente funzione è differenziabile: $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tale che $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=\int_{-a}^a(g(t)cos(tx)-g(t)sin(tx))e^{-ty}dt+i\int_{-a}^a(g(t)cos(tx)+g(t)sin(tx))e^{-ty}dt$ dove $g\in L^1(\mathbb{R})$ a supporto compatto. Per applicare il passaggio a limite sotto al segno di integrale devo provare ad esempio, nel primo integrale, che il valore assoluto della derivata parziale dell'integranda è maggiorato da una funzione $L^1(\mathbb{R})$. Tuttavia l'unica cosa che riesco a fare è che se $-a\leq t\leq a$, allora $|-t| |(g(t)cos(tx)-g(t)sin(tx))e^{-ty}|\leq2|a g(t)| e^{ay}$ Non riesco a sganciarmi dalla ...

Perché nella definizione di limite $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$, si esclude il punto $x_0$ dall'intorno? Ovvero quando si dice per ogni $x \in \] x_0-\delta, x_0+ \delta \[ / \{x_0\} $?

Salve, stavo svolgendo il seguente limite e, nonostante sia riuscito a raggiungere il risultato corretto, ho un grosso dubbio: $ lim_(x -> 1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/((x-1)(x-1)) $ Per risolvere ho raccolto nel secondo esponente il $-1/2$ cosi da poter raccogliere a loro volta le e, quindi applicando il limite notevole con $f(x)=-x^2+2x$ che tende a 0 per $x->1$ sono arrivato a $((x^2-2x)(e^(-1/2)))/((x-1)(x-1))$ Il mio primo tentativo di risoluzione mi ha portato a concludere subito: sostituendo la x con 1 ottengo ...

Buongiorno ragazzi. E' da un paio di giorni che cerco di venire a capo di questo flusso. La traccia è la seguente: Calcolare il flusso del campo vettoriale \(\displaystyle F=(x,y,arctanx) \) attraverso la superficie \(\displaystyle \Sigma \), orientando la superficie data in modo tale che la normale a \(\displaystyle \Sigma \) nel punto \(\displaystyle (0,0,0) \),sia \(\displaystyle (0,0,-1) \) \(\displaystyle { \sum =\left \{ \left ( x,y,z \right ) \in R^3 : \left | xcosz+ysinz \right | + ...

spero che ci siano tutte le informazioni per permettervi di aiutarmi, perchè è il passaggio finale di un esercizio che non riesco a portare a termine: ho questa somma $ ∑_{k=0}^N{(-1)^kα^k}/(k!) $ , prendendo il limite per $ N->∞ $ devo dimostrare che converge a $ e^(-α $ dove $ α $ è un parametro reale $ α>0 $ spero possiate aiutarmi

Sia $ (X,\tau) $ uno spazio topologico ed $ A\subsetX $. Posto $ \tau_A={A\capB:B\in\tau} $, la struttura $ (A,\tau_A) $ è uno spazio topologico con sostegno $ A $. $ A $ si dice connesso se non si può scrivere come unione di due aperti in $ \tau_A $ disgiunti e non banali. Se $ A\subset\tau $ (è un aperto di $ X $), allora gli aperti di $ A $ sono anche aperti di $ X $ ( $ \tau_A\subset\tau $) Sia ...

come risolvere l'equazione $ e^{1/z}=1 $ e arrivare al risultato $ z=i/{2πk} $ ?

Buongiorno, ho un problema con questa equazione differenziale che il prof mi mise nel compito tempo fa. Ho provato a rifarla, ma mi sono bloccato in un punto. $ y'' + y = log (x)/e^(x) $ Ho già calcolato la soluzione dell'omogenea, ma quando vado a cercare l'integrale particolare c'è un grosso problema. Il termine f(x) = logx/e^x contiene il logaritmo, che non è nei termini "notevoli" di un'eq. diff. e quindi il metodo di somiglianza non saprei come usarlo, a meno di usare la serie di taylor del ...

Quando il mio libro passa dagli spazio metrici generali allo spazio $ R^n $ in particolare (munito di metrica euclidea), afferma che ogni punto interno ad un insieme $ AsubsetR^n $ è anche di accumulazione per $ A $. Mi chiedo se questo valga per ogni spazio metrico o solo nel caso di $ R^n $. Se non vale in generale, potreste fornirmi gentilmente un esempio di punto interno che non è di accumulazione? Grazie

Ciao, devo risolvere questo integrale. $\int_1^(t-1) int_1^(t-x)6/(x^3y^4)dxdy$ Io l'ho risolto per parti e mi viene $(-4*((t-1)^3 +1))/(t-3)^3$ Molto probabilmente non è il risultato giusto...Potreste dirmi il risultato, mostrando, se possibile, il procedimento? Grazie!

Salve, mi trovo davanti ad un polinomio del tipo $(z^3 +27)^5$, ho 5 possibili risposte e non ho ben chiaro come arrivare a quella corretta: mi viene chiesto se le radici del polinomio -hanno tutte la stessa molteplicita' -sono 15 numeri complessi tutti distinti -hanno tutte modulo -3 -hanno tutte lo stesso argomento -sono tutte reali Ho pensato di poterla risolvere facilmente facendo $z^3=-27$ e quindi $z=-3$ con molteplicità 15. Ho quindi pensato che le radici fossero ...