Analisi matematica di base

Ciao, in base a quale proprietà dei logaritmi (o di cos'altro?!?): $\sum_{i=1}^n (y_i/beta)^gamma * log sum_{i=1}^n (y_i/beta) = sum_{i=1}^n (y_i/beta)^gamma * log (y_i/beta)$ Secondo me è un errore, è stata tralasciata la sommatoria nel secondo fattore, non penso si possa raccogliere così per la sommatoria... grazie in anticipo!

Buongiorno. Sul tema oggetto di questo post è già stato discusso ampiamente in questo forum, ma per evitare di riesumare post troppo vecchi ne creo uno nuovo; spero sia nello spirito del forum, altrimenti fatemelo pure presente che le prossime volte intervengo direttamente in quei post. Tutto ciò premesso, io mi riferisco a questo post, dove @gugo82 quota la seguente frase: Il dominio \(\Omega\) è normale rispetto all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] se e solo se ogni retta ...

Ciao a tutti, potreste darmi una mano a risolvere questo esercizio? Sono un po in difficoltà. Determinare il volume della regione di spazio contenente il punto (0,R,0) e delimitata dalle superfici: $x^2+y^2=z^2, x^2+y^2-2Ry=0$ Non so come impostarlo e non capisco a livello grafico la situazione. Grazie

Salve a tutti, ho una perplessità in merito all' interpretazione grafica e geometrica delle curve di livello. Più dettagliatamente il mio dubbio è il seguente: ho una banalissima funzione in due variabili, del tipo f(x,y)=2x - 0,5y. (Chiedo scusa ma non sono pratico di Latex). La funzione risulta positiva per y < 4x. Nel momento in cui vado a calcolare la curva di livello -1 ottengo: y = 4x +2. La mia domanda è la seguente: com'è possibile che l'equazione della retta che descrive la curva di ...

Buongiorno, premetto che è l'ultima volta che intaso il forum con delle selle. Supponiamo $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differenziabile in $\mathbb{R}^n$ e che il problema sia suddiviso in due parti: i) determinare eventuali punti stazionari di $f$ in $\mathbb{R}^n$ studiandone la natura; ii) determinare i punti di min e max assoluti di $f$ vincolati a $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, insieme chiuso e limitato. La mia perplessità, probabilmente ovvia per voi, è stabilire ...

Siano $X,Y$ spazi metrici e siano $f_n:X->Y$ una successione di funzioni continue che convergono puntualmente : $AA x$ esiste $lim_(n)f_n(x)$ in $Y$ e definisce $f:X->Y$. sia $F_(n,m):={x| d_Y(f_n(x),f_k(x))<=1/m, AAk>=n}$, dimostrare che $F_(n,m) sube F_(n+1,m)$ purtroppo non riesco a dimostrare questo fatto: come idea ho che se le $f_n$ convergendo puntualmente sono di Cauchy e quindi all'aumentare di $n$ l'insieme delle $x in X$ per cui ...

Buongiorno, sto trovando forti difficoltà a determinare se lo spazio $X:={f in C^1(RR) | Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|<+infty}$ è completo rispetto alla norma $||f||_X := |f(0)| + pi/2Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|$ Ho provato per primo ad applicare la definizione: sia ${f_n}$ una successione di Cauchy in $X$, devo trovare se esiste $f in X$ t.c. $||f-f_n||_X ->0$ per $n->+infty$. quindi per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c $AA n,m>=N$ $||f_n-f_m||_X <epsilon$, cioè $(|f_n(0)-f_m(0)| + pi/2Sup_(x in RR) (1+x^2)|(f_n)'(x)-(f_m)'(x)|)<epsilon$ Ma poi da qui non riesco ...

Ciao a tutti! Ho svolto questo integrale di superficie ma come risultato finale ottengo zero, il che è al quanto strano. L'esercizio chiede: calcolare l'integrale di superficie: $\intint_\Sigma xy^2 d\Sigma$ sulla sfera $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$ Passaggi: 1 $z=\pmsqrt(a^2-x^2-y^2)$, ma a me basta calcolarne una sola, moltiplicherò di seguito per due l'integrale. 2 $d\Sigma= sqrt(a^2/(a^2-x^2-y^2))dxdy$ 3 Utilizzo le coordinate polari per il dominio: $x=\rho cos\theta; y= \rho sin\theta$ 4 Inserendo anche lo Jacobiano: $2a \int_0^a\int_0^(2pi) \rho^4cos\theta sin^2\theta sqrt(1/(a^2-\rho^2)) d\rhod\theta$ Solo che l'integrale: ...

Salve a tutti! Sto svolgendo questo integrale curvilineo ma non riesco a procedere oltre nei calcoli. L'esercizio è il seguente: Calcolare l'integrale curvilineo $int_(\deltaD) ||y|-1|ds$, dove D è il dominio piano delimitato dall'arco di cicloide: $ \gamma(t): x=t-sint,y=1-cost$ con $0<=t<=2\pi$. Mi sono calcolato il ds e ottengo: $ds=sqrt(2)sqrt(1-cost) dt$ Sostituendo nell'integrale: $sqrt(2)int_0^(2pi) ||1-cost|-1|sqrt(1-cost) dt$. Ora però ho dei dubbi per quanto riguarda il calcolo dei moduli. Dovrei studiare prima $|1-cost|$ e ho un ...

Si consideri la successione di funzioni definita in $R$ $ f_n(x)={ ( 3\quadif-n-1\lex<-n ),( 0\quadotherwise ):} $ a) determinare l'insieme $I$ dei punti in cui converge puntualmente Fissato $x\inR$ per $ n->\infty\existsn_0\inN:-n<x\foralln>n_0 $ e quindi $f_n(x)$ converge puntualmente in $I=R$ alla funzione $f(x)=0$ b) Stabilire se la successione converge uniformemente in $I$ oppure, in caso contrario, stabilire in quali intervalli contenuti in $I$ la ...

Sul mio libro di analisi con c'e' e su internet non ho trovato praticamente nulla. Qual e' la dimostrazione di questo teorema?

Un insieme si dice discreto quando e' costituito da punti isolati. Ho fatto qualche ricerca online,ma non ho trovato nulla e sul mio libro non e' presente. Come si dimostra il teorema sulla discrettezza di N?

Calcolare $ int int_(D)^() sqrt((x+1)^2-y^2)dxdy $ dove $D$ è il trapezio di vertici $ (0,1)\quad(0,-1)\quad(1,2)\quad(1,-2) $. Ho espresso $D$ come dominio normale rispetto all'asse $x$ ma l'integrazione per riduzione mi porta ad un integranda di primitiva difficile da calcolare: $ int_(0)^(1)dxint_(-x-1)^(x+1) sqrt((x+1)^2-y^2)dy $ Ho escluso il cambiamento di variabili perchè abbiamo solo trattato il caso delle coordinate polari e $D$ non ha alcun tipo di simmetria radiale. Ho provato l'integrazione per ...

Devo determinare il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie di sostegno $ \Omega={(x,y,x)\inR^3:4x^2+y^2\le1,0\lez\le3} $ ma non riesco a parametrizzare la superficie. Se ci fosse stato $4x^2+y^2<1$ sarei passato in coordinate cilindriche ottenendo $ \phi(u,v)=(1/2cosu,sinu,v)\quad(u,v)\inD=[0,2\pi]*[0,3] $ Invece con quel $\le$ dovrei introdurre un terzo parametro del tipo $ \phi(t,u,v)=(1/2tcosu,tsinu,v)\quad(t,u,v)\inD=[0,1]*[0,2\pi]*[0,3] $ ma non è una superficie. Come posso fare?

Buongiorno, ho 2 dubbi (forse banali) ma a cui non riesco a dare una risposta: 1) data una successione $x_n$ contenuta nella sfera unitaria $S1$, come faccio a dire che $x_n$ converge, cioè esiste $x:=lim_n(x_n)$? Poiché $S1$ è completo, mi basterebbe far vedere che $x_n$ è di Cauchy, ma partendo dalla definizione non riesco a capire come fare. Qualcuno può darmi una mano? Ci sono modi più immediati? 2) data $A:=lim_n(||x^(1/n)||_infty)$ è ...

Buonasera, stavo rivedendo la teoria sulle Equazioni Differenziali Ordinarie e mi sono bloccato su una dimostrazione che non riesco a fare. Il contesto è il seguente: siano $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un aperto, $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$ un mappa di classe $C^1$ su $\Omega$ e dato $(t_0, x_0) \in \Omega$ consideriamo il solito problema di Cauchy: $$ \begin{cases} \dot{x} = f(t, x)\\ x(t_0) = x_0 \end{cases} ( \star ). $$ Dalla teoria standard sappiamo che ...

Ciao a tutti, avrei un dubbio a proposito di questo limite: $$\lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{\sin^4x+y^4}{x^2+y^2}$$ Ho provato a farlo nel seguente modo: - anzitutto osservo che la funzione di cui devo fare il limite è sempre $\ge0$ ed è pari nelle variabili $x,y$, dunque posso considerare il limite per $(x,y)\to(0^+,0^+)$ - per $x\ge0$ so che $\sin x \le x$ per cui posso maggiorare: $$0\le \lim_{(x.y)\to(0,0)} ...

Sto studiando la formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi ed in particolare un ragionamento euristico per comprendere il significato geometrico dello jacobiano. Sia $ \phi $ l'applicazione che definisce il cambio di coordinate con $ \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) $. Consideriamo un rettangolo infinitesimo nel piano $ (u,v) $ di area $ dudv $ e vertici $ A=(u,v)\quadB=(u+du,v)\quadC=(u+du,v+dv)\quadD=(u,v+dv) $ $ \phi $ trasforma tale rettangolo in un poligono a lati curvilinei nel piano ...

Mi piacerebbe dimostrare che $|sqrt(a+ib)|=sqrt(|a+ib|)$ ma devo dire che non mi vengono idee sensate. Inizialmente mi sono posto la domanda pensando non valesse poiché le radici sono due in numero, mi sono detto... tuttavia mi sono presto reso conto che sbagliavo infatti dovrebbe tornare a conti fatti poiché le radici giacciono sulla circonferenza sul piano di A-G, quindi essendo il modulo la distanza (raggio) è evidente che deve tornare. Il punto è che non mi viene una idea furba per dimostrarlo in ...

Ciao a tutti. Ho un dubbio per quanto riguarda questo studio del problema di Cauchy e spero possiate aiutarmi. $2y-x(y'+4/y')=0$ con $y(1)=y'(1)=2$ $\Rightarrow$ eq.diff. non normale del tipo: $y=\phi(x,y')$ -Mi sono chiesto se in questo caso specifico posso o meno capire anticipatamente se l'equazione ammette una o più soluzioni. E non capisco come farlo utilizzando il teorema di esistenza ed unicità locale. -Per quanto riguarda il calcolo alla fine ottengo un espressione ...