Analisi matematica di base
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Buongiorno, sto trovando forti difficoltà a determinare se lo spazio
$X:={f in C^1(RR) | Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|<+infty}$
è completo rispetto alla norma $||f||_X := |f(0)| + pi/2Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|$
Ho provato per primo ad applicare la definizione: sia ${f_n}$ una successione di Cauchy in $X$, devo trovare se esiste $f in X$ t.c. $||f-f_n||_X ->0$ per $n->+infty$.
quindi per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c $AA n,m>=N$ $||f_n-f_m||_X <epsilon$, cioè $(|f_n(0)-f_m(0)| + pi/2Sup_(x in RR) (1+x^2)|(f_n)'(x)-(f_m)'(x)|)<epsilon$
Ma poi da qui non riesco ...
Ciao a tutti!
Ho svolto questo integrale di superficie ma come risultato finale ottengo zero, il che è al quanto strano. L'esercizio chiede: calcolare l'integrale di superficie:
$\intint_\Sigma xy^2 d\Sigma$ sulla sfera $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$
Passaggi:
1 $z=\pmsqrt(a^2-x^2-y^2)$, ma a me basta calcolarne una sola, moltiplicherò di seguito per due l'integrale.
2 $d\Sigma= sqrt(a^2/(a^2-x^2-y^2))dxdy$
3 Utilizzo le coordinate polari per il dominio: $x=\rho cos\theta; y= \rho sin\theta$
4 Inserendo anche lo Jacobiano: $2a \int_0^a\int_0^(2pi) \rho^4cos\theta sin^2\theta sqrt(1/(a^2-\rho^2)) d\rhod\theta$
Solo che l'integrale: ...
Salve a tutti!
Sto svolgendo questo integrale curvilineo ma non riesco a procedere oltre nei calcoli. L'esercizio è il seguente:
Calcolare l'integrale curvilineo
$int_(\deltaD) ||y|-1|ds$, dove D è il dominio piano delimitato dall'arco di cicloide: $ \gamma(t): x=t-sint,y=1-cost$
con $0<=t<=2\pi$.
Mi sono calcolato il ds e ottengo: $ds=sqrt(2)sqrt(1-cost) dt$
Sostituendo nell'integrale:
$sqrt(2)int_0^(2pi) ||1-cost|-1|sqrt(1-cost) dt$.
Ora però ho dei dubbi per quanto riguarda il calcolo dei moduli. Dovrei studiare prima $|1-cost|$ e ho un ...
Si consideri la successione di funzioni definita in $R$
$ f_n(x)={ ( 3\quadif-n-1\lex<-n ),( 0\quadotherwise ):} $
a) determinare l'insieme $I$ dei punti in cui converge puntualmente
Fissato $x\inR$ per $ n->\infty\existsn_0\inN:-n<x\foralln>n_0 $ e quindi $f_n(x)$ converge puntualmente in $I=R$ alla funzione $f(x)=0$
b) Stabilire se la successione converge uniformemente in $I$ oppure, in caso contrario, stabilire in quali intervalli contenuti in $I$ la ...
Sul mio libro di analisi con c'e' e su internet non ho trovato praticamente nulla. Qual e' la dimostrazione di questo teorema?
Come si dimostra il teorema sulla discrettezza di N?
Miglior risposta
Un insieme si dice discreto quando e' costituito da punti isolati. Ho fatto qualche ricerca online,ma non ho trovato nulla e sul mio libro non e' presente. Come si dimostra il teorema sulla discrettezza di N?
Calcolare $ int int_(D)^() sqrt((x+1)^2-y^2)dxdy $ dove $D$ è il trapezio di vertici $ (0,1)\quad(0,-1)\quad(1,2)\quad(1,-2) $.
Ho espresso $D$ come dominio normale rispetto all'asse $x$ ma l'integrazione per riduzione mi porta ad un integranda di primitiva difficile da calcolare:
$ int_(0)^(1)dxint_(-x-1)^(x+1) sqrt((x+1)^2-y^2)dy $
Ho escluso il cambiamento di variabili perchè abbiamo solo trattato il caso delle coordinate polari e $D$ non ha alcun tipo di simmetria radiale.
Ho provato l'integrazione per ...
Devo determinare il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie di sostegno
$ \Omega={(x,y,x)\inR^3:4x^2+y^2\le1,0\lez\le3} $
ma non riesco a parametrizzare la superficie. Se ci fosse stato $4x^2+y^2<1$ sarei passato in coordinate cilindriche ottenendo
$ \phi(u,v)=(1/2cosu,sinu,v)\quad(u,v)\inD=[0,2\pi]*[0,3] $
Invece con quel $\le$ dovrei introdurre un terzo parametro del tipo
$ \phi(t,u,v)=(1/2tcosu,tsinu,v)\quad(t,u,v)\inD=[0,1]*[0,2\pi]*[0,3] $
ma non è una superficie.
Come posso fare?
Buongiorno, ho 2 dubbi (forse banali) ma a cui non riesco a dare una risposta:
1) data una successione $x_n$ contenuta nella sfera unitaria $S1$, come faccio a dire che $x_n$ converge, cioè esiste $x:=lim_n(x_n)$?
Poiché $S1$ è completo, mi basterebbe far vedere che $x_n$ è di Cauchy, ma partendo dalla definizione non riesco a capire come fare. Qualcuno può darmi una mano? Ci sono modi più immediati?
2) data $A:=lim_n(||x^(1/n)||_infty)$ è ...
Buonasera,
stavo rivedendo la teoria sulle Equazioni Differenziali Ordinarie e mi sono bloccato su una dimostrazione che non riesco a fare.
Il contesto è il seguente: siano $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un aperto, $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$ un mappa di classe $C^1$ su $\Omega$ e dato $(t_0, x_0) \in \Omega$ consideriamo il solito problema di Cauchy:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = f(t, x)\\
x(t_0) = x_0
\end{cases} ( \star ).
$$
Dalla teoria standard sappiamo che ...
Ciao a tutti, avrei un dubbio a proposito di questo limite:
$$\lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{\sin^4x+y^4}{x^2+y^2}$$
Ho provato a farlo nel seguente modo:
- anzitutto osservo che la funzione di cui devo fare il limite è sempre $\ge0$ ed è pari nelle variabili $x,y$, dunque posso considerare il limite per $(x,y)\to(0^+,0^+)$
- per $x\ge0$ so che $\sin x \le x$ per cui posso maggiorare:
$$0\le \lim_{(x.y)\to(0,0)} ...
Sto studiando la formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi ed in particolare un ragionamento euristico per comprendere il significato geometrico dello jacobiano.
Sia $ \phi $ l'applicazione che definisce il cambio di coordinate con $ \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) $.
Consideriamo un rettangolo infinitesimo nel piano $ (u,v) $ di area $ dudv $ e vertici
$ A=(u,v)\quadB=(u+du,v)\quadC=(u+du,v+dv)\quadD=(u,v+dv) $
$ \phi $ trasforma tale rettangolo in un poligono a lati curvilinei nel piano ...
Mi piacerebbe dimostrare che $|sqrt(a+ib)|=sqrt(|a+ib|)$ ma devo dire che non mi vengono idee sensate.
Inizialmente mi sono posto la domanda pensando non valesse poiché le radici sono due in numero, mi sono detto... tuttavia mi sono presto reso conto che sbagliavo infatti dovrebbe tornare a conti fatti poiché le radici giacciono sulla circonferenza sul piano di A-G, quindi essendo il modulo la distanza (raggio) è evidente che deve tornare.
Il punto è che non mi viene una idea furba per dimostrarlo in ...
Ciao a tutti.
Ho un dubbio per quanto riguarda questo studio del problema di Cauchy e spero possiate aiutarmi.
$2y-x(y'+4/y')=0$ con $y(1)=y'(1)=2$ $\Rightarrow$ eq.diff. non normale del tipo: $y=\phi(x,y')$
-Mi sono chiesto se in questo caso specifico posso o meno capire anticipatamente se l'equazione ammette una o più soluzioni. E non capisco come farlo utilizzando il teorema di esistenza ed unicità locale.
-Per quanto riguarda il calcolo alla fine ottengo un espressione ...
Salve a tutti, qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questa funzione definita a tratti?
Sia $α > 0$ un parametro reale. Si consideri la
funzione $f : R → R$ definita a tratti nel seguente modo:
$ { ( (x-1-log(x))/(x-2)^2; x>1),( alpha;x=1 ),(( int_(0)^((1-x)^(2x)) e^(sin(t)) dt)/(2(1-x)); x<1 ):} $
Non sono riuscita a risolvere il $lim x-> 1^+$ di $(x-1-log(x))/(x-2)^2$ e in più non saprei proprio come trattare l'integrale quando devo fare il $lim x-> 1^-$ di $( int_(0)^((1-x)^(2x)) e^(sin(t)) dt)/(2(1-x))$ come si risolvono i limiti con gli integrali?
Grazie in anticipo e scusate il ...
Buonasera a tutti, questo è il mio primo messaggio, spero di non sbagliare troppe cose fin da subito.
Premetto che non ho grandi conoscenze di matematica e che sto preparando l'esame di analisi matematica 2 in un corso ingegneristico (abbiate pietà se non sarò preciso ).
Nello specifico vorrei porre alla vostra attenzione la funzione $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ di legge:
\[
f(x,\,y,\,z) := x^2-y^2+z^3
\] la quale è molto mansueta, in particolare non presenta problemi di derivabilità, pertanto è presto ...
Salve a tutti!
Vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto in merito allo studio del seguente problema di Cauchy:
$y'=4y/x+xsqrt(y) $, con $y(1)=1$
Il risultato che ottengo alla fine è: $y(x)= x^4/4 ln^2x+x^4c^2+x^4clnx$
Applicando ora la condizione mi risulta che c sia: $c=\pm1$
Solo che ora mi sono bloccato perché non capisco quale c debba scegliere.
Potreste darmi una mano?
Grazie
Salve a tutti, avrei un dubbio su questo limite :
$ lim_(x -> 0) 1/(2x^2) * cos (1/(2x^2)) $
Mi verrebbe da pensare che il limite in questione non esiste essendo $1/(2x^2)$ un infinito per $x->0$ ed essendo $cos(1/x^2)$ oscillante. È corretto? Grazie
Salve, a tutti. Per la preparazione dell' esame di analisi 1 ho iniziato ad esercitarmi sullo svolgimento dei limiti. Ho studiato la teoria a riguardo, quindi strumenti per il calcolo, forme di indeterminazione, limiti notevoli etc...
Tuttavia quando cerco di risolvere gli esercizi che ritengo essere piuttosto semplici, nonostante riesca, ad esempio come nel caso delle f(x) quì sotto, ad individuare la forma di indeterminazione, poi mi blocco e non riesco a proseguire.
$ lim_(x -> +oo) x^2*sin(2/n)*cos(1/n) $
che ...
Ciao a tutti, vi scrivo per poter chiarire un teorema che ha messo in dubbio tutte le mie certezze. Il teorema in questione è una conseguenza del teorema di Schwarz che afferma:
Se le derivate seconde sono differenziabili, per le derivate terze l'ordine di derivazione è invertibile.
Vi riporto la dimostrazione con le parti che non mi sono chiare.
La differenziabilità delle derivate seconde implica la differenziabilità delle derivate prime, infatti la differenziabilità delle derivate seconde ...
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