Dimostrazione dell'area del cerchio

[passione_meccanica]

Buonasera vorrei proporvi una dimostrazione alternativa per il calcolo dell'area del cerchio. Normalmente viene dimostrata dividendo la circonferenza in molti spicchi ma a mio avviso è una soluzione un po' macchinosa.



TEOREMA
"Il valore della superficie di una circonferenza di raggio “R”, è pari al valore della superficie del
triangolo isoscele con altezza “R” e base equivalente al valore della circonferenza “C”."

Circonferenza del cerchio
$ C=2piR $

Area del triangolo rettangolo
$ Area_(TR)=1/2(piR)(R)=1/2piR^2 $

Area del triangolo isoscele
$ Area_(TR)=2(Area_(TR))=2(1/2piR^2)=piR^2 $

Area del cerchio
$ Area_(C)=Area_(TI)=piR^2 $

Prima della dimostrazione formale, vorrei affrontarne una più pratica. Immaginiamo un oggetto a
tre dimensioni, come ad esempio un tappeto o un tessuto ben arrotolato. Possiamo convenire col
fatto che esso formerà una figura cilindrica, ovviamente non perfetta, ma discretamente precisa se lo
spessore del tappeto risulterà abbastanza piccolo. Dopodiché facciamo finta di tagliarlo fino al
centro della circonferenza (segmento verde), ovvero per l'intera lunghezza del raggio per poi
lasciarlo libero di srotolarsi. La cosa che subito potremo notare, è che l'iniziale figura cilindrica si
trasformerà in un triangolo isoscele estruso dalle proprietà già ben descritte nel teorema sopra
citato.

Dimostrazione
Immaginiamo di vedere il triangolo isoscele come tanti segmenti di lunghezza “Cr” posti uno sopra
l'altro.
circonferenza infinitesima
$ C_r=2pir $

Infine sommando tutti i segmenti che formano il triangolo isoscele ovvero integrando “Cr” tra gli
estremi di “r”, possiamo trovare l'equazione che descrive l'area del cerchio:
$ Area_c=int_(0)^(R) (2pir) dr= 2piint_(0)^(R) r dr= 2pi R^2/2=piR^2 $

Ecco anche il pdf scaricabile:
http://www.filedropper.com/areadelcerchio

[gugo82]

È il Principio di Cavalieri in coordinate polari.