Punti stazionari di una funzione a due variabili
Buongiorno a tutti, ho alcuni problemi nell'individuare la natura dei punti stazionari di una funzione a due variabili. Vi scrivo il procedimento che ho seguito al fine di individuare errori.
La traccia è la seguente: $f(x,y)=x^2y(x+y-1)$
Per prima cosa ho individuato le derivate parziali della funzione ottenendo:
$f_x(x,y)=xy(3x+2y-2)$
$f_y(x,y)=x^2(x+2y-1)$
A questo punto occorre calcolare per quali valori il famoso gradiente $\nablaf(x,y)=0$ si annulla, e risolvo il seguente sistema:
$\{(f_x(x,y)=0),(f_y(x,y)=0):}$
$\{(xy(3x+2y-2)=0),(x^2(x+2y-1)=0):}$
Dalla prima equazione osservo che il sistema si annulla per $x=0 vv y=0$, e sostituendo tali valori separatamente all'equazione rimasta ottengo un luogo di punti dato da $(0,y), y in RR$ ed i punti $(1,0), (0,0)$ .
Credo di aver fatto qualche errore quindi spero nel vostro aiuto. Come si procede nel classificare tali punti come massimi, minimi o di sella?
La traccia è la seguente: $f(x,y)=x^2y(x+y-1)$
Per prima cosa ho individuato le derivate parziali della funzione ottenendo:
$f_x(x,y)=xy(3x+2y-2)$
$f_y(x,y)=x^2(x+2y-1)$
A questo punto occorre calcolare per quali valori il famoso gradiente $\nablaf(x,y)=0$ si annulla, e risolvo il seguente sistema:
$\{(f_x(x,y)=0),(f_y(x,y)=0):}$
$\{(xy(3x+2y-2)=0),(x^2(x+2y-1)=0):}$
Dalla prima equazione osservo che il sistema si annulla per $x=0 vv y=0$, e sostituendo tali valori separatamente all'equazione rimasta ottengo un luogo di punti dato da $(0,y), y in RR$ ed i punti $(1,0), (0,0)$ .
Credo di aver fatto qualche errore quindi spero nel vostro aiuto. Come si procede nel classificare tali punti come massimi, minimi o di sella?
Risposte
Ciao cno22,
Benvenuto/a sul forum!
Il sistema che hai scritto è corretto.
Piuttosto manca il punto che si ottiene imponendo $x + 2y - 1 = 0 \implies x = 1 - 2y $ e quindi dalla prima equazione $ 3(1 - 2y) + 2y - 2 = 0 \implies 3 - 6y + 2y - 2 = 0 \implies y = 1/4 \implies x = 1 - 1/2 = 1/2 $ da cui il punto di minimo $L(1/2, 1/4) $:
$z_L = f(1/2, 1/4) = (1/2)^2 \cdot 1/4 \cdot (1/2 + 1/4 - 1) = - 1/64 $
Benvenuto/a sul forum!
Il sistema che hai scritto è corretto.
Piuttosto manca il punto che si ottiene imponendo $x + 2y - 1 = 0 \implies x = 1 - 2y $ e quindi dalla prima equazione $ 3(1 - 2y) + 2y - 2 = 0 \implies 3 - 6y + 2y - 2 = 0 \implies y = 1/4 \implies x = 1 - 1/2 = 1/2 $ da cui il punto di minimo $L(1/2, 1/4) $:
$z_L = f(1/2, 1/4) = (1/2)^2 \cdot 1/4 \cdot (1/2 + 1/4 - 1) = - 1/64 $
Ciao!
Esplicitare il punto $(0,0)$ è superfluo, perché è già incluso nella casistica $(0,y)$ con $y\in\mathbb{R}$ quando $y=0$; comunque sì, c'è un errore nello svolgimento del sistema. Devi annullare tutti i termini del prodotto, pertanto devi imporre anche $3x+2y-2=0$ e $x+2y-1=0$.
Per l'altra domanda, tralasciando gli errori di conto: cosa sai della teoria dei massimi e minimi in più variabili? Perché chiedersi come si procedere una volta annullato il gradiente è un po' troppo generico, nel senso che almeno la tecnica standard la devi conoscere. Qui sul forum è dura spiegarti tutta la teoria generale, per questo serve un buon libro di testo o gli appunti del corso. Quindi, cosa dicono il tuo docente o il libro di testo da cui stai studiando a riguardo?
Esplicitare il punto $(0,0)$ è superfluo, perché è già incluso nella casistica $(0,y)$ con $y\in\mathbb{R}$ quando $y=0$; comunque sì, c'è un errore nello svolgimento del sistema. Devi annullare tutti i termini del prodotto, pertanto devi imporre anche $3x+2y-2=0$ e $x+2y-1=0$.
Per l'altra domanda, tralasciando gli errori di conto: cosa sai della teoria dei massimi e minimi in più variabili? Perché chiedersi come si procedere una volta annullato il gradiente è un po' troppo generico, nel senso che almeno la tecnica standard la devi conoscere. Qui sul forum è dura spiegarti tutta la teoria generale, per questo serve un buon libro di testo o gli appunti del corso. Quindi, cosa dicono il tuo docente o il libro di testo da cui stai studiando a riguardo?
Ci tenevo a ringraziare entrambi. Adesso i miei dubbi sono stati risolti!
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