Limite di successioni
Ciao, ho da svolgere questo limite di successioni:
$\lim_{n \to +\infty}(nln(n)^3 - sqrt(n) + n^(3/2))/(2n + 3n^(1/3) - nln(n)^4)$
Io ho usato il metodo di prendere i preponderanti al numeratore e denominatore e quindi rimarebbe:
$(nln(n)^3)/(nln(n)^4)$
il cui limite tenderebbe a $0$ mentre il libro dice che il risultato è $-\infty$
Qualcuno sa cosa potrei sbagliare?
$\lim_{n \to +\infty}(nln(n)^3 - sqrt(n) + n^(3/2))/(2n + 3n^(1/3) - nln(n)^4)$
Io ho usato il metodo di prendere i preponderanti al numeratore e denominatore e quindi rimarebbe:
$(nln(n)^3)/(nln(n)^4)$
il cui limite tenderebbe a $0$ mentre il libro dice che il risultato è $-\infty$
Qualcuno sa cosa potrei sbagliare?
Risposte
Ciao theChicke,
Effettivamente si ha:
$ \lim_{n \to +\infty}(nln(n)^3 - sqrt(n) + n^(3/2))/(2n + 3n^(1/3) - nln(n)^4) = - \infty $
Attento alla scelta dei "preponderanti"...
Effettivamente si ha:
$ \lim_{n \to +\infty}(nln(n)^3 - sqrt(n) + n^(3/2))/(2n + 3n^(1/3) - nln(n)^4) = - \infty $
Attento alla scelta dei "preponderanti"...
Ciao, innanzitutto grazie.
Allora al denominatore sono praticamente sicuro sia giusto, al numeratore a sto punto prenderei $n^(3/2)$ con cui rimarrebbe:
$lim_(n->+\infty)(-sqrt(n)/ln(n)^4)$
e ora qui mi sorge un dubbio per la prima volta. Io ho sempre preso i termini che "salivano" + velocemente a infinto rispetto all y, quindi quando guardo i termini "preponderanti" devo vedere quale tende + velocemente a $+\infty$ rispetto alla x o alla y? perchè se tengo conto della x allora il risultato verrebbe $-\infty$ altrimenti 0..?
Allora al denominatore sono praticamente sicuro sia giusto, al numeratore a sto punto prenderei $n^(3/2)$ con cui rimarrebbe:
$lim_(n->+\infty)(-sqrt(n)/ln(n)^4)$
e ora qui mi sorge un dubbio per la prima volta. Io ho sempre preso i termini che "salivano" + velocemente a infinto rispetto all y, quindi quando guardo i termini "preponderanti" devo vedere quale tende + velocemente a $+\infty$ rispetto alla x o alla y? perchè se tengo conto della x allora il risultato verrebbe $-\infty$ altrimenti 0..?
"theChicke":
innanzitutto grazie.
Prego!
"theChicke":
[...] rimarrebbe:
$ lim_(n->+\infty)(-sqrt(n)/ln(n)^4)$
Beh, $\AA n >= 1 $ si ha $ln(n) < \sqrt{n} $, quindi...
ah ok, e perchè la potenza non viene presa in considerazione? c'è perchè $ln(n)$ e non $ln(n)^4$ ? anche perchè allora nemmeno al denominatore avrei dovuto prendere $ln(n)$
"theChicke":
e perchè la potenza non viene presa in considerazione?
Beh, perché per note proprietà dei logaritmi si ha $ln(n)^4 = 4 ln(n) $
Ma non dovrebbe essere cosi quando $ln(n^4) = 4ln(n)$ ? magari l'ho scritto male io quindi hai frainteso.
Non so se l'hai scritto male nel testo, da come è scritto vale la proprietà che ti ho scritto... Poi non so se invece intendevi $ (ln n)^4 = ln^4 n $
Si esatto io intendevo che $(ln(n))^4 = ln(n)^4$. Scusami, siccome che ho visto che, ad esempio, wolfram alpha accetta questa scrittura lo usato impropriamente cosi. Quindi in questo caso la soluzione come cambia?
Scusami ancora per l'inconveniente
Scusami ancora per l'inconveniente
"theChicke":
Quindi in questo caso la soluzione come cambia?
In realtà non cambia, il risultato del limite proposto è sempre $-\infty $
Infatti $\AA x > 0 $ si ha $ln x < x $, per cui ponendo $x := n^a $, $\AA a > 0 $ si ha:
$ln n^a < n^a $
$ a ln n < n^a $
$ ln n < n^a/a \implies ln^4 n = (ln n)^4 < (n^a/a)^4 $
Scegliendo $ a := 1/8 > 0 $ si ha $ ln^4 n = (ln n)^4 < (n^{1/8}/(1/8))^4 = 8^4 sqrt{n} $
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