Campi conservativi e potenziale in $RR^3$

[EnricoStefani]

Ciao a tutti,
chiedevo un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio di Analisi II:

Stabilire per quale parametro $ alpha in RR $ è definito su $ RR^3-(0,0,0) $ un potenziale $ U $ per $ F(x,y,z)=((alpha x+(alpha-1)y)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (alpha y+(alpha-1)x)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (alpha z+(alpha-1)xy)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))) $. Per tale valore di $ alpha $ determinare $ U $ tale che $ U(1,0,0)=alpha $ .


Per prima cosa ho verificato l'irrazionalità del campo e ho trovato che $ F(x,y,z) $ è conservativo per $ alpha=1 $ , quindi ho ottenuto $ F(x,y,z)=((x)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (y)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)), (z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))) $. A questo punto ho provato più e più volte a calcolare $ U $ in modi diversi ma non ci salto fuori...

[gugo82]

Beh, forse ti può servire ricordare che $("d")/("d"t) sqrt(t^2 + a^2) = t/sqrt(t^2+a^2)$.

[EnricoStefani]

Grazie, proverò ad applicare quella relazione!! Ho un altro dubbio a riguardo: il potenziale $ U $ che si ottiene derivato nelle tre variabili x,y e z deve restituirmi le componenti di $ F(x,y,z) $ e contemporaneamente dare $ alpha $ come risultato se calcolato in $ (1,0,0) $? Nei vari tentativi che avevo fatto il potenziale che mi dava come risultato $ alpha $ (se calcolato in $ (1,0,0) $) non mi restituiva le componenti di $ F $ se derivato in x,y e z e viceversa (se mi restituiva le componenti di $ F $ si annullava in $ (1,0,0) $).

[pilloeffe]

Ciao enrcstf,

Benvenuto/a sul forum!

"enrcstf":Per prima cosa ho verificato l'irrazionalità del campo

L'irrotazionalità del campo...

"gugo82":forse ti può servire ricordare che $ ("d")/("d"t) sqrt(t^2 + a^2) = t/sqrt(t^2+a^2) $.

Forse eh, non è sicuro...