Continuità di una funzione
Buonasera a tutti, mi aiutate con questo esercizio?
Sia $f(x)$ una funzione definita da $ln(1+2x)/x$ per $x>0$ e da $a(x+1)$ per $x<=0$. Per quale valore di $a$ la funzione $f(x)$ è continua nel punto $0$?
Dalla teoria so che affinché $f(x)$ risulta continua, bisogna verificare che il limite destro e sinistro per $x->0$ coincidano con il valore della funzione nel punto zero.
E quindi mi trovo:
$lim_(x->0+) ln(1+2x)/x=2$
$lim_(x->0-) a(x+1)= a$
$f(0)=0$
allora $a= 2$ oppure $a = 0$ ? Non riesco a capire...
Sia $f(x)$ una funzione definita da $ln(1+2x)/x$ per $x>0$ e da $a(x+1)$ per $x<=0$. Per quale valore di $a$ la funzione $f(x)$ è continua nel punto $0$?
Dalla teoria so che affinché $f(x)$ risulta continua, bisogna verificare che il limite destro e sinistro per $x->0$ coincidano con il valore della funzione nel punto zero.
E quindi mi trovo:
$lim_(x->0+) ln(1+2x)/x=2$
$lim_(x->0-) a(x+1)= a$
$f(0)=0$
allora $a= 2$ oppure $a = 0$ ? Non riesco a capire...
Risposte
Dove salta fuori \(f(0)=0 \) ?
$ln(1+2*0)/0=0$
1) Si può dividere per zero?
2) Com'è definita \(f \) ?
2) Com'è definita \(f \) ?
"Pivot":
$ ln(1+2*0)/0=0 $
Tra l'altro \( \ln(1+2 \cdot 0) / 0 \) non si può proprio vedere.... non ha senso! Stai scrivendo che \(0/0 = 0 \) Ma anche se il termine sopra fosse diverso da zero non si può dividere per zero. Se proprio vuoi darci un senso cerchi di capire cosa succede avvicinandoti a zero, e generalmente lo fai con il limite.
\( \lim_{x \to 0^{+} } \ln(1+2x)/x = 2 \) (tra l'altro non 0)
Ma ripeto: qual'è la definizione di \(f\)?
La funzione è quella di partenza. Secondo la teoria i due limiti, destro e sinistro devono coincidere con la funzione calcolata nel punto zero. Io ho interpretato così:
$f(x)= ln(1+2x)/x = f(0)= ln(1+2*0)/0= 0/0$
per sciogliere la forma di indecisione applico De l'Hopital:
$f'(x) = 1/(1+2x) * 2 = f'(0) = 1/1 *2 = 2$
Il limite destro tende a $2$ quello sinistro ad $a$, quindi $a =2$
Secondo voi è corretto?
$f(x)= ln(1+2x)/x = f(0)= ln(1+2*0)/0= 0/0$
per sciogliere la forma di indecisione applico De l'Hopital:
$f'(x) = 1/(1+2x) * 2 = f'(0) = 1/1 *2 = 2$
Il limite destro tende a $2$ quello sinistro ad $a$, quindi $a =2$
Secondo voi è corretto?
Ciao Pivot,
No.
Appunto. Te la riscrivo per bene:
$ f(x) = \{(ln(1+2x)/x \text{ per } x > 0),(a(x + 1) \text{ per } x <= 0):} $
Dalla domanda dovresti aver capito che il punto in questione è $x_0 = 0 $
Per verificare la continuità in $x_0 $ devi calcolarti i limiti da destra e da sinistra:
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l^+ $
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l^- $
Poi devi imporre che il risultato di questi due limiti sia pari a $f(x_0) = f(0) $: a cosa è uguale $f(x_0) = f(0) $? Osserva attentamente la definizione di $f(x) $ prima di rispondere alla domanda.
"Pivot":
Secondo voi è corretto?
No.
"Pivot":
La funzione è quella di partenza.
Appunto. Te la riscrivo per bene:
$ f(x) = \{(ln(1+2x)/x \text{ per } x > 0),(a(x + 1) \text{ per } x <= 0):} $
"Pivot":
Per quale valore di $a$ la funzione $f(x)$ è continua nel punto $0$?
Dalla domanda dovresti aver capito che il punto in questione è $x_0 = 0 $
Per verificare la continuità in $x_0 $ devi calcolarti i limiti da destra e da sinistra:
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l^+ $
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l^- $
Poi devi imporre che il risultato di questi due limiti sia pari a $f(x_0) = f(0) $: a cosa è uguale $f(x_0) = f(0) $? Osserva attentamente la definizione di $f(x) $ prima di rispondere alla domanda.
"3m0o":
Com'è definita \( f \) ?
"Pivot":
La funzione è quella di partenza
Guarda che avevo capito qual'era la funzione...
Era un modo per farti capire che stavi mal interpretando la funzione di partenza.
"3m0o":
Guarda che avevo capito qual'era la funzione...
Sì, però non hai capito che non ci va l'apostrofo...
Hai ripetuto lo stesso errore anche qui:
"3m0o":
Ma ripeto: qual'è la definizione di $f$?
Occhio a quando scriverai la tesi di laurea, di dottorato o qualsiasi altro lavoro tu stia facendo: sono dettagli, ma te lo dico perché i miei professori ci guardavano...
Ma non è italiano ... e penso che la scriverà in un'altra lingua ... 
... e penso che la scriverà in un'altra lingua ...
A ma vabbè la scriverò in inglese
Non in francese?
[ot]Dipende con quale professore la faccio.
ps: tesi di bachelor...magari fossi già al phD.
ed inoltre scrivere una tesi non è come scrivere in un forum, ci metto più attenzione sicuramente. Ma grazie che continuate a correggermi sempre lo stesso errore. Prima o poi me lo ricorderò. Tra l'altro qual'era l'errore? [/ot]
ps: tesi di bachelor...magari fossi già al phD.
ed inoltre scrivere una tesi non è come scrivere in un forum, ci metto più attenzione sicuramente. Ma grazie che continuate a correggermi sempre lo stesso errore. Prima o poi me lo ricorderò. Tra l'altro qual'era l'errore?
[/ot]
[ot]"Qual" non vuole l'apostrofo perché esiste autonomamente, non è un'elisione ma un troncamento.
Quindi "qual è" e "qual era" e così via[/ot]
Cordialmente, Alex
Quindi "qual è" e "qual era" e così via
[/ot]Cordialmente, Alex
[ot]Sì era una battuta mi ricordavo. Poi sono andato anche io sul treccani. Ma qual'erano è giusto con l'apostrofo. Inoltre in letteratura si è osservata la forma qual'è e qual'era sebbene sia corretta la grafia senza apostrofo[/ot]
[ot]Qual'erano è corretto perché quel "qual" è l'elisione di "quali" e non il troncamento di "quale"
E poi si dice "sulla" Treccani perché è sottintesa la parola "enciclopedia"[/ot]
Cordialmente, Alex
E poi si dice "sulla" Treccani perché è sottintesa la parola "enciclopedia"
[/ot]Cordialmente, Alex
Grazie, l'avevo già fatto e mi trovo con:
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = lim_{x \to 0^+}ln(1+2x)/x=2$
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = lim_{x \to 0^-}a(x+1)= a$
Per $f(x_0) = f(0)$ devo considerare il secondo ramo, quello con $x<=0$ e cioè $f(x_0)= f(0) = a(0+1)= a$ Anche i due limini del secondo ramo mi escono uguali ad a.
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = lim_{x \to 0^+}ln(1+2x)/x=2$
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = lim_{x \to 0^-}a(x+1)= a$
Per $f(x_0) = f(0)$ devo considerare il secondo ramo, quello con $x<=0$ e cioè $f(x_0)= f(0) = a(0+1)= a$ Anche i due limini del secondo ramo mi escono uguali ad a.
Esatto! Quindi se vuoi che \(f\) sia continua in \(x_0=0\) hai bisogno che \(a=...\)?
$a = 2$
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