Funzioni parametriche e ricerca dei parametri
Buonasera a tutti e buon anno.
Mi aiutate con questi due esercizi?
Esercizio 1
Trovare opportuni valori dei parametri $a$ e $b$ relativi alla funzione $y=x+a+b/x$ avente un estremo relativo in $x=2$ e asintoto obliquo passante per il punto $(3,8)$.
per questo esercizio ho pensato:
$y=mx+q$
$m=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)*(1/x) = lim_(x->+infty) (1+a/x+b/x^2)= 1$ , $x\ne0$
$q=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)- x = a$
$y=x+a$ impongo il passaggio per il punto $(3,8)$ e trovo $8=3+a$ e quindi $a=5$
secondo voi è giusto? come trovo il parametro $b$?
Esercizio 2
Per quali valori di $a$ e di $b$ la funzione $y=(x^2 + a)/(x+b)$ ha un punto di massimo relativo in $x=-1$ e di minimo relativo per $x=2$?
In quest'altro caso ho pensato di calcolare la derivata e di studiarne il segno:
$y'=(x^2 + 2bx)/(x+b)^2 >=0$
Numeratore N: $x(x+2b)>=0$ e quindi $x>=0$ e $x>=-2b$
Denominatore D: $x > -b$
Poi come si procede?
Mi aiutate con questi due esercizi?
Esercizio 1
Trovare opportuni valori dei parametri $a$ e $b$ relativi alla funzione $y=x+a+b/x$ avente un estremo relativo in $x=2$ e asintoto obliquo passante per il punto $(3,8)$.
per questo esercizio ho pensato:
$y=mx+q$
$m=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)*(1/x) = lim_(x->+infty) (1+a/x+b/x^2)= 1$ , $x\ne0$
$q=lim_(x->+infty) (x+a+b/x)- x = a$
$y=x+a$ impongo il passaggio per il punto $(3,8)$ e trovo $8=3+a$ e quindi $a=5$
secondo voi è giusto? come trovo il parametro $b$?
Esercizio 2
Per quali valori di $a$ e di $b$ la funzione $y=(x^2 + a)/(x+b)$ ha un punto di massimo relativo in $x=-1$ e di minimo relativo per $x=2$?
In quest'altro caso ho pensato di calcolare la derivata e di studiarne il segno:
$y'=(x^2 + 2bx)/(x+b)^2 >=0$
Numeratore N: $x(x+2b)>=0$ e quindi $x>=0$ e $x>=-2b$
Denominatore D: $x > -b$
Poi come si procede?
Risposte
Ciao Pivot,
Buon anno!
Beh, sfrutta l'altra informazione fornita dal testo:
Per l'Esercizio 2 stai attento perché hai sbagliato la derivata ed il denominatore della derivata è un quadrato, pertanto è sempre positivo...
Buon anno!
"Pivot":
come trovo il parametro $b$?
Beh, sfrutta l'altra informazione fornita dal testo:
"Pivot":
[...] avente un estremo relativo in $x=2$ [...]
Per l'Esercizio 2 stai attento perché hai sbagliato la derivata ed il denominatore della derivata è un quadrato, pertanto è sempre positivo...
Bene:)
Esercizio 1
come faccio a usare l'informazione $x=2$ nel primo esercizio, non mi viene in mente
Esercizio 2
effettivamente ho derivato male
allora rivendendo il calcolo:
$y'= (x^2 +2bx - a)/(x+b)^2 >=0$
Numeratore N: $x^2 +2bx -a >=0$ e risolvendo l'equazione associata ho trovato: $x_(1,2) =-b pm b sqrt(a)$
Denominatore D: $(x+b)^2 >0$ sempre
Poi che devo fare?
Esercizio 1
come faccio a usare l'informazione $x=2$ nel primo esercizio, non mi viene in mente
Esercizio 2
effettivamente ho derivato male
allora rivendendo il calcolo:$y'= (x^2 +2bx - a)/(x+b)^2 >=0$
Numeratore N: $x^2 +2bx -a >=0$ e risolvendo l'equazione associata ho trovato: $x_(1,2) =-b pm b sqrt(a)$
Denominatore D: $(x+b)^2 >0$ sempre
Poi che devo fare?
"Pivot":
non mi viene in mente
Beh, fai la derivata della funzione e la imponi uguale a zero, no?
"Pivot":
risolvendo l'equazione associata ho trovato: $ x_{1,2} =-b \pm b \sqrt(a) $
Veramente a me risulta $ x_{1,2} =-b \pm \sqrt(b^2 + a) $
Giusto! 
$y'=1-b/x^2$ ; $1-b/x^2 = 0$ e sfruttando la condizione $x=2$ trovo: $1-b/4 =0$ $b=4$
Ricapitolando: i parametri per cui la funzione$ y=x+a+b/x $ ha un estremo relativo in x=2 e asintoto obliquo passante per il punto (3,8) sono $a=5$ e $b=4$.
Il mio libro però mi propone di scegliere una tra le due alternative: $a<5$ e $b>4$ oppure $a>5$ e $b<4$ Perché?
Per il secondo esercizio mi trovo:
Numeratore: $x_(1,2)= (-2b \pm sqrt(4b^2+4a))/2 = (-2b\pm4sqrt(b^2+a))/2 = -b\pm2sqrt(b^2+a)$
ora come procedo?
$y'=1-b/x^2$ ; $1-b/x^2 = 0$ e sfruttando la condizione $x=2$ trovo: $1-b/4 =0$ $b=4$
Ricapitolando: i parametri per cui la funzione$ y=x+a+b/x $ ha un estremo relativo in x=2 e asintoto obliquo passante per il punto (3,8) sono $a=5$ e $b=4$.
Il mio libro però mi propone di scegliere una tra le due alternative: $a<5$ e $b>4$ oppure $a>5$ e $b<4$ Perché?
Per il secondo esercizio mi trovo:
Numeratore: $x_(1,2)= (-2b \pm sqrt(4b^2+4a))/2 = (-2b\pm4sqrt(b^2+a))/2 = -b\pm2sqrt(b^2+a)$
ora come procedo?
"Pivot":
ora come procedo?
Innanzitutto scrivendo correttamente la soluzione dell'equazione associata, che è quella che ti ho già scritto nel mio post precedente, poi risolvendo la disequazione $ x^2 +2bx - a >= 0 $
ok ora mi trovo, grazie.
$x_(1,2)= (-2b \pm sqrt(4b^2+4a))/2 = (-2b\pm2sqrt(b^2+a))/2 = -b\pm sqrt(b^2+a)$
$x_(1,2)= (-2b \pm sqrt(4b^2+4a))/2 = (-2b\pm2sqrt(b^2+a))/2 = -b\pm sqrt(b^2+a)$
Ok.
Beh, vai avanti no?
Come dovresti sapere il trinomio $ x^2 +2bx - a $ assume il segno del coefficiente del termine di grado massimo (cioè il segno di $1 > 0 $) negli intervalli esterni alle due soluzioni dell'equazione associata che hai risolto, quindi...
Considera anche che se $a >= 0 $ non ci sono problemi, ma se $ a < 0 $ per l'esistenza del radicale dovrà essere $b^2 + a >= 0 $
Beh, vai avanti no?
Come dovresti sapere il trinomio $ x^2 +2bx - a $ assume il segno del coefficiente del termine di grado massimo (cioè il segno di $1 > 0 $) negli intervalli esterni alle due soluzioni dell'equazione associata che hai risolto, quindi...
Considera anche che se $a >= 0 $ non ci sono problemi, ma se $ a < 0 $ per l'esistenza del radicale dovrà essere $b^2 + a >= 0 $
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