Carattere di una serie

[theChicke]

io ho la seguente serie:

$\sum_{n=1}^(+\infty) (cos^2(nx)/(n(n+1)))$ al variare di $x in R$

io ho provato ad applicare il metodo del confronto, in quanto penso sia l'unico applicabile, e mi risulta:

$(cos^2(nx)/(n(n+1))) <= 1/(n(n+1)) <= 1/n$

la cui serie associata però diverge quindi il teorema cosi è pressochè inutile.

ho provato anche con il metodo del rapporto ma non ho ottenuto nulla anche qui, qualcuno avrebbe un suggerimento?

[gugo82]

Tutto giusto, a parte l'ultima cosa... Perché maggiorare con $1/n$ quando $1/(n(n+1))$ è minore di $1/n^2$?

[theChicke]

Ah è vero, non mi è venuto in mente di svolgere il denominatore in modo che fosse più visibile la disuguaglianza, grazie mille.

[pilloeffe]

Ciao theChicke,

Benvenuto sul forum!

Onestamente l'ultima maggiorazione non l'avrei neanche fatta, dato che si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} cos^2(nx)/(n(n+1)) <= \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n(n+1)) = 1 $

Infatti l'ultima scritta è la ben nota serie di Mengoli, che è telescopica per cui se ne riesce a trovare agevolmente la somma $S = 1 $.

[gugo82]

"theChicke":Ah è vero, non mi è venuto in mente di svolgere il denominatore in modo che fosse più visibile la disuguaglianza, grazie mille.

Non c'è bisogno di svolgere nulla.
Basta tenere presente che $1/(n+1) < 1/n$