Analisi matematica di base

Ciao ragazzi, non mi è chiaro un passaggio della seguente dimostrazione (dal Marcellini Sbordone). Lemma di densità: (viene usato per dimostrare la suriettività dell'esponenziale) Sia $a>0, a != 1$. Si provi che $ AA alpha ,beta in R^+\ :\ alpha<beta \ EE y in Q \ :\ alpha<a^y<beta $ Dimostrazione: Limitiamoci al caso $a>1$ e $1<=alpha<beta$ Sia $n in N \ :\ (beta/alpha)^n > a$ e sia $ m = max{k in Z\ :\ a^k<=alpha^n}$. Allora $beta^n>a alpha^n>=a a^m = a^{m+1}>alpha^n$ da cui $ alpha^n<a^{m+1}<beta^n$ cioè $alpha<a^{{m+1}/n}< beta$ Capisco perché si considera $a>1$, ma perché anche ...

Buongiorno, qualcuno sà per caso cosa significa questo "uno" bianco nelle notazioni matematiche? [/img]

Salve a tutti. Oggi durante un esame universitario ci è stata fornita la seguente funzione in due variabili: x^2 + 2x - y^2 - 2y + e^(x^2+x) Ci è stato chiesto di indicare eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità. Essendo la funzione definita in tutto R^2 ho pensato che non ci fossero punti di discontinuità e di non derivabilità. Vorrei sapere se la mia idea è giusta, oppure ho commesso un errore. Saluti

Mi potreste aiutare? Grazie in anticipo.Dati i piani ALFA: x+2y+z-1=0 e BETA: x+2y+z+3=0 Calcolare, se esiste, una sfera tangente ad entrambi i piani.

Buongiorno a tutti, non riesco a impostare la risoluzione di questo esercizio classico del calcolo del flusso di un campo vettoriale usando il teorema della divergenza. il testo dice: Data $ Sigma ={(x,y,z)in mathbb(R)^3:z>=0, x^2+y^2+z^2=3 } $ e il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(z^2x,x^2y+y^3/3,x^2+y^2) $ calcolare $ |int int_(Sigma )^()F*n dS | =2pi(3^(5/2)/5+9/4) $ di cui fornisce già la soluzione per usare il teorema della divergenza mi serve prima di tutto la frontiera di sigma e parametrizzarla in coordinate sferiche dunque devo risolvere $ int int int_(V)^() rho ^2 rho ^2 sin(vartheta ) drho dvartheta dphi , V=[0,2pi ]xx [0,pi]xx [0,sqrt(3) ] $ ma non mi esce lo ...

Chi sa calcolare il seguente limite (con passaggi semplici)? $ lim_(x -> -oo )exp (-x*i) $ A me ,sviluppando l'esponenziale con la formula di eulero, sembra che tale limite non esista!

Buongiorno a tutti, ho questo esercizio di cui non riesco a mettere giù l'impostazione per poi giungere al risultato proposto di $ 9pi^2 $ Il campo vettoriale è $ F(x,y,z)=(e^ycos(x),(1+e^y)sin(x),4xy) $ mentre la superficie cartesiana $ Sigma ={(x,y,z)in \mathbb{R}^3: z=(1+e^y)cos(x), 0<=x<=pi, 0<=y<=3} $ il testo ci dice come suggerimento di calcolare direttamente il flusso con la definizione e di non usare il teorema della divergenza richiede il calcolo di $ |int int_(S)^()F*n*dS | $ grazie in anticipo

Salve. Mentre ripetevo Analisi 1 in vista dell'esame mi era venuta in mente una cosa che volevo provare a dimostrare. Ora, sono sicuro che la dimostrazione non sia difficile, specialemente usando un po' di teoria delle equazioni differenziali ordinarie, tuttavia volevo riuscirci usando solo i risultati visti ad Analisi 1, ma non so bene come formalizzare il ragionamento. Prima di esporlo, passo all'enunciato della cosa che volevo dimostrare: "Sia $f\in C^1(RR)$ tale che ...

Ciao a tutti, vorrei chiedere un aiuto riguardo un punto che non mi è tanto chiaro del discorso affrontato nel paragrafo seguente. Il passaggio che non capisco (primo dubbio) è questo: Io conosco la divisione euclidea e credo faccia qualcosa del genere, prende p e lo scrive come $p=c_0*q+p_0$ poiché $p_0$ e tra zero e q escluso quando scrivo $p_0/q$ mi troverei un numero decimale e non ho definito tale divisione. Quindi credo l'idea sia prendere ...

Buongiorno a tutti, ho questo esercizio classico di ricerca di massimi e minimi vincolati di cui non riesco a risolvere il sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite usando il metodo di moltiplicatori di Lagrange. Il testo dice, data $ f(x,y,z)=xy+2yz+7xz $ calcolare il massimo ed il minimo assoluti in f vincolati all'insieme $ S={(x,y,z)in mathbb(R)^3:x+y+z=12, x>=0,y>0,z>=0 } $ La mia idea è stata di riconoscere S come una superficie (posso esplicitarla in z e diventa l'equazione di un piano). Dunque non devo andare a studiare ...

Ciao a tutti, rieccomi qui Devo studiare il seguente limite: $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2y^2)/(x^4+3y^4) $ ho cominciato facendo una restrizione lungo gli assi impongo $y=0$ la funzione diventa: $ f(x,0)=1/x^2 $ $ lim_(x -> 0) 1/x^2=+infty $ con $x=0$ la funzione sarà : $ f(0,y)= 1/(3y^2) $ $ lim_(y -> 0) 1/(3y^2)=+infty $ imponendo invece $y=mx$ la funzione sarà $f(x,mx)=(x^2(mx)^2)/(x^4+3(mx)^4)$ $ lim_(x -> 0)(m^2x^4)/(x^4(1+3m^4))= m^2/(1+3m^4)$ al variare di $m$ avrò: $m=1 rarr 1/4$ , $m=2 rarr 4/7$, $m=3 rarr 3/4$ ho ...

Buonasera a tutti, vi chiederei di chiarirmi un dubbio probabilmente un po' banale. Consideriamo l'integrale triplo $ int_(A) f(x,y,z) dxdydz $ con $ A sub mathbb(R) ^ 3 $ e ipotizziamo che per calcolarlo convenga passare alle coordinate sferiche. Per fare ciò ho bisogno di calcolare il determinante della matrice Jacobiana $ |J| $, relativa alla trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche, quindi l'integrale potrebbe essere riscritto come $ int_(S) f(r,\theta,\phi) |J| drd\thetad\phi = int_(S) f(r,\theta,\phi) r ^ 2 sin(\theta) drd\thetad\phi $. Ipotizziamo di assegnare ...

Come risolvere questo problema? Determina quali sono tre numeri reali positivi che hanno somma 120 e prodotto massimo (suggerimento: chiama x e y i primi due numeri ed esprimi il terzo in funzione di x e y)

Salve a tutti amici matematici, sono alle prese con un problema di massimizzazione vincolata. Ho la seguente funzione $E[\pi] = (1-r)[\alpha b- (1-p)C-K]+T $ che voglio massimizzare rispetto alla variabile $r$ avendo però il seguente vincolo: $U = (1-r)b-T \geq 0$. Il problema è di natura economica ma non è rilevante ai fini del quesito in quanto sono interessato alla mera risoluzione matematica. Alcune informazioni sulle "lettere". La nostra variabile $r$ è un numero tra ...

Ciao a tutti Sto approcciando per la prima volta al calcolo dei limiti con gli sviluppi di Taylor. Con gli sviluppi in generale non ho grosse difficoltà, ma nel momento in cui vado a sostituire la funzione con il polinomio associato mi blocco con i calcoli, mi aiutereste a capire come svolgerli? Ad esempio ho svolto questo limite $ lim_(x -> 0) (7sin(x))/(e^(2x)-1) $ e non avuto grosse difficoltà, ho sviluppato al primo ordine: $ 7sin(x)=7x+o(x) $ e $e^(2x)= 1+2x+o(x)$ e sostituendo nel limite ottengo ...

devo risolvere il problema di cauchy $ { ( x'=|x|cost-xsint ),( x(0)=1 ):} $ ma non ho idea di come trattare il valore assoluto..

Devo risolvere l'integrale di $ f(x,y)=x^2+y^2 $ sulla regione di spazio limitata dal cono $ z=sqrt(x^2+y^2) $ e il piano $ z=2 $. Integrando per strati verrebbe $ int_0^2 \int\int_(x^2+y^2 <= z^2) f(x,y) dx dy dz $ che si risolve facilmente in coordinate polari. Avevo poi provato a integrare per fili, come esercizio, credendo che la regione fosse esprimibile come $ sqrt(x^2+y^2) \le z \le 2\ $, $ x^2+y^2=4 $ ma ottengo un risultato diverso. Mi chiedevo quindi se ci fosse modo di esprimere la regione di spazio con z ...

Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n ∈ N, si ha: $\sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) * 1/(3+k) = (n+1)/(n+4) + 1/2$ Di questo esercizio riesco a dimostrare la base che è $1/2 = 1/2$ tuttavia per il passo induttivo ho un pò di dubbi, moltiplicando al primo membro, dopo aver sostituito k= n+1, e facendo il mcm al secondo ottengo una situazione da cui non riesco a procedere ulteriormente, è giusto il mio ragionamento? Grazie

Ciao! Mi trovo in difficoltà nel comprendere la forma degli insiemi. Mi spiego meglio: l' esercizio richiede di descrivere e disegnare l'insieme $E$ $E={(x,y,z)inRR^3:3|y|<=sqrt(3)x, z^2<=min{x^2+y^2,6-sqrt(x^2+y^2)} }$ Per descriverlo ho effettuato un cambio di coordinate, passando a quelle cilindriche, ottenendo che $E$ corrisponde a $F={(rho,t,theta)| (rho,t)inOmega_1uuOmega_2 , thetain[-pi/6,pi/6]}$ dove $Omega_1={(rho,t)|0<=rho<=2 , -rho<=t<=rho} $ e $Omega_2={(rho,t)|2<=rho<=6 , -sqrt(6-rho)<=t<=sqrt(6-rho)}$ A questo punto non riesco a capire che ragionamento seguire per comprendere la forma di quell'insieme. Ringrazio in ...

Salve a tutti, sto cercando di studiare l'uniforme continuità nell'intervallo $]-\infty,4]$ della seguente funzione: $$f(x)=\begin{cases} \arcsin(\sqrt{x}-1) & x\in [0,4]\\ \frac{\pi}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right) & x\in]-\infty,4[\end{cases}$$ Le due leggi prese singolarmente sono U.C. nei rispettivi intervalli ma non riesco ad arrivare all'uniforme continuità in tutto $]-\infty,4]$ utilizzando le più importanti condizioni necessarie e quelle ...