Analisi matematica di base
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Ciao a tutti !
Oggi eccomi con una domanda riguardo l'argomento del titolo. In particolare il mio dubbio riguarda il non riuscire a giungere alla formula corretta attraverso un calcolo. Mi spiego: so che, dato un elemento di volume infinitesimo $dv$, esso può essere espresso in coordinate cartesiane come $dv=dxdydz$ ed in coordinate polari sferiche come $dv=r^2sin\thetad\thetadphidr$ cui si può giungere o tramite jacobiano o, in campo fisico ad esempio, tramite considerazioni geometriche ...
Ciao ragazzi, non riesco a risolvere il seguente limite:
$ lim_(n -> +oo ) (log(n!)) / (n*logn) $
Alcuni tentativi:
Visto che mi sono spoilerato che va a 1, ho pensato di usare il teorema dei carabinieri. Si può facilmente maggiorare con 1, ma non riesco a minorarla.
Poi ho osservato che $ log(n!)/n $ è la media aritmetica di $ logn $ ma vanno entrambe a $+oo$ quindi forma indeterminata
Salve, ho svolto questo limite notevole:
\[
\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (1+e^x)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]
\]
Aiutato anche da alcuni passaggi presenti nelle soluzioni, l'ho svolto in questo modo:
$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x(1+e^{-x}))\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x)+ \ln(1+e^{-x})\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
$\lim_{x\to +\infty} \left[x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
A questo punto utilizzo le frazioni di frazioni per riscrivere il limite e poter applicare de l'Hôpital:
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\frac{1}{x}}$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1$
Vorrei sapere innanzitutto ...
Da algebra lineare ho imparato il metodo di eliminazione gaussiana, secondo il quale in un sistema lineare:
-sommare /sottrarre multipli di una riga ad un altra riga
-scambiare righe
-moltiplicare una riga per un numero reale
non cambia il risultato del sistema. Queste mosse si usano per ridurre a scalini la matrice del sistema ma si possono anche semplicemente usare per agevolare i conti, per esempio con il "metodo di addizione" che si usa alle superiori.
Ora, in analisi 2 mi capita spesso ...
Sia \( \alpha\in \mathbb R \), \( \alpha > 0 \) un parametro reale. Sia
\[
x_n = \frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\alpha - 1}}
\] per ogni \( n\in \mathbb N \). (In realtà può essere quello che volete, ma con questo esempio è ben chiaro quello che ho intenzione di chiedere).
Vorrei provare il più possibile con le mani che
\[
\lim_{n\in \mathbb N} x_n = \begin{cases}+\infty & \text{se $ \alpha < 2 $}\\ 4 & \text{se $ \alpha = 2 $}\\0 & \text{se $ \alpha > 2 $}\end{cases}
\] ma mi ...
Buongiorno e buona domenica a tutti.
Sto leggendo e studiando il teorema da titolo, dal libro Analisi 2 di Pagani, Salsa-seconda edizione.
La prima parte del teorema sembra essermi chiara, cioè dove si prova la convergenza, invece la seconda parte dove si prova derivabilità non molto. Riporto l'enunciato e la dimostrazione.
Teorema :
Sia $f_n: (a,b) to RR$ successione di funzioni derivabili, se
i) la successione delle derivata ${f'_n}$ converge uniformemente in ...
Salve a tutti, ho il seguente problema:
Calcolare l'area della superficie $Sigma={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2)+5,x^2+y^2<=12,y<=0}$.
Per risolverlo, io avevo pensato di calcolare $z_x$ e $z_y$ e poi fare $intint_Dsqrt(1+z_x^2+z_y^2)dxdy$, solo che non torna il risultato.
Penso che abbia sbagliato la parametrizzazione, ma come capisco come farla? Ho cercato di capirne di più dal libro di testo, ma spiega malissimo questa parte.
Grazie mille per l'aiuto
Devo essermi arrugginito con le serie numeriche.
Sto provando a studiare il carattere di due serie.
La prima è una serie a segni alterni:
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n*n(arctan(n+1)-arctan(n)) $
Mi viene chiesta la convergenza semplice e la convergenza assoluta
Per la convergenza semplice, siccome è a segni alterni (per n grandi arctan(n+1) > arctan(n)) posso usare il criterio di Leibniz ma ho già difficolta nel capire se il termine generale è infinitesimo.
Ho trovato una formula per la differenza di arcotangenti che porterebbe ...
Salve a tutti, mi sono imbattuto in un integrale triplo e avrei qualche domanda.
L'integrale è:
$int int int_T x dxdydz$ con $T={(x,y,z): z^2+x^2<=1, 0<=y<=1-x-z}$.
Io ho provato a risolverlo rappresentandolo graficamente, ma non riesco a farlo bene in 3D e utilizzando anche il pc non sono riuscito a visualizzarlo bene, perchè dovrei integrare la metà inferiore del cilindro. E' corretta come interpretazione grafica?
Seconda domanda:
Io avevo provato ad impostarlo cosi:
Dato che ho $z^2+x^2<=1$, integro ...
Salve a tutti, avrei una domanda.
Ho questo integrale da calcolare:
$intintint_T |z| dxdydz$ con $T={(x,y,z): x^2+y^2<=z^2<=4, z^2+x^2+y^2>=1}$.
La mia domanda è: in questo caso, come faccio a scrivere il dominio per riuscire a trovare gli estremi di integrazione?
Io ho provato ad utilizzare le coordinate cilindriche e sferiche, ma niente. Più che altro mi confondono i due vincoli messi assieme. Qualcuno può gentilmente darmi un suggerimento per favore?
Grazie mille a tutti.
\( \newcommand{\oint}[2]{\left]{#1},{#2}\right[} \)\( \newcommand{\cint}[2]{\left[{#1},{#2}\right]} \)Ciao. A lezione mi fu detto che una funzione \( f\colon \cint ab\to \mathbb R \) è integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme delle sue discontinuità ha misura di Lebesgue nulla.
Un esercizio sull'integrale di Riemann mi chiede di provare con le mani questo fatto quando l'insieme delle discontinuità della funzione abbia cardinalità finita.
Provo a farlo per un solo punto \( c\in \cint ...
Salve a tutti. Mi sono imbattuto in questo esercizio:
$int int_Omega abs(y-2x^2)dxdy$ , con $Omega={(x,y) in RR^2: 0<=y<=2x<=3}$.
Per risolverlo, sono partito dalla rappresentazione grafica di $Omega$. Quindi, ho riscritto l'integrale come:
$int_ 0^3 int_(y/2)^(3/2) abs(y-2x^2)dxdy$. Dato che la funzione integranda ha il valore assoluto, mi sono chiesto quando l'argomento fosse $>=0$. Da qui sorgono i miei dubbi: guardando un esercizio su youtube sempre con modulo, viene diviso il dominio in due sottodomini, caratterizzando il ...
Ciao. Se \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) è una successione reale tale che le sottosuccessioni \( (x_{2n})_{n\in \mathbb N} \) e \( (x_{2n + 1})_{n\in \mathbb N} \) convergano rispettivamente ai valori \( c \) e \( d \), allora è
\[
\liminf_{n\to \infty}a_n = \min\{c,d\}\qquad \limsup_{n\to \infty}a_n = \max\{c,d\}\text{.}
\]
Riporto la dimostrazione in spoiler.
Dimostrazione. Pongo \( L^{-} := \min\{c,d\} \) ed \( L^{+} := \max\{c,d\} \). Faccio vedere che \( L^{+} \) è il limite superiore usando ...
Salve a tutti, stavo affrontando il seguente integrale, ma non riesco a capire bene come scrivere i domini semplici in questo caso:
$\int int_Omega yx dxdy$ con $Omega={(x,y) in RR^2: 0<=y<=(x+1)^2, 0<=x<=5-y}$.
Io per cercare di trovare un dominio, ho rappresentato graficamente i due vincoli e trovato l'area in questione ma non riesco a trovare un modo nè per esprimerlo rispetto all'asse x o y.
Io avevo pensato a:
$(x+1)^2<=y<=5-x$ con $x in [0,1]$ ma facendo i calcoli, il risultato non viene.
Avevo pensato a questo ...
Ciao a tutti,
vorrei chiedervi dei metodi di risoluzione del seguente esercizio:
Trovare per quali valori del parametro K l'equazione $x^3+x^2+3=Kx$ ammette soluzioni positive.
Io ho provato a svolgerlo per via grafica, isolando la parabola cubica dal resto, ovvero $x^3=-x^2+Kx-3$ e imponendo appunto che ci fossero dei punti di intersezione con x positiva tra le due curve.
Sono partito dalla condizione limite di tangenza tra le 2 curve, verificata per x=1 e K=5.
Ma di lì, come faccio a ...
Salve a tutti, come da titolo,ho riscontrato un problema con un esercizio e non avendo trovato nessun esempio su cui basarmi pongo a voi la mia domanda.
Il testo dell'esercizio è:
Sia D la parte del piano dei punti $(x,y)$ tali che $x<=-y^2+2y$ e $y>=x+2$. Parametrizzare la frontiera di D in senso antiorario.
Per risolverlo, anzitutto ho rappresentato graficamente le due disequazioni e trovato l'intersezione, solo che non riesco a capire bene come parametrizzarla ...
Salve, continuando a studiare un po', sono arrivato a un po' di concetti che mi hanno dato non poche difficoltà, ovvero quelli che servono per capire il Teorema di Ascoli Arzelà, che forse è meglio enunciare dato che ho visto che viene riportato in modi diversi a seconda del libro.
"Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico compatto e $(Y,d)$ uno spazio metrico completo. Una famiglia $F \sub (C(X,Y), \rho) $ (con $\rho(f,g)=max{d(f(x),g(x)), x \in X} $) di funzioni continue è relativamente compatta (ovvero ...
Salve a tutti, ho svolto questo esercizio ma non mi trovo con le possibili risposte a scelta multipla che vengono proposte.
La funzione in esame è:
$f(x,y)= 3x^2y^2(x^2-y^2)+5$.
Per determinarne i punti critici ne ho innanzitutto trovato il gradiente:
$nabla(x,y)=((12x^3y^2-6xy^4),(6x^4y-12x^2y^3))$.
Ponendo $nabla = 0$, ottengo che l'unico punto critico è $(0,0)$.
Calcolando l'hessiana:
$H_(f)(x,y)=((36x^2y^2-6y^4, 24x^3y-24xy^3),(24x^3y-24xy^3,6x^4-36x^2y^2))$
e
$H_(f)(0,0)=0$.
Pertanto, per stabilire la natura di $(0,0)$, ho fatto il seguente ...
Buonasera,
cerco di risolvere questo esercizio in qui viene chiesto di stabilire se il seguente campo è conservativo:
\(\displaystyle F: \Re^2 \rightarrow \Re^2, (x,y) \mapsto \left (-4y+e^{x^2}, siny-\frac{x}{4} \right )\)
Ora, potrei usare la relazione campo \(\displaystyle C^1 \) irrotazionale su dominio semplicemente connesso \(\displaystyle \Rightarrow \) campo conservativo, ma ahimè ho verificato che \(\displaystyle F \) non è irrotazionale. Stabilire se trattasi di un campo gradiente ...
Salve a tutti, avrei una domanda riguardante questo esercizio:
$f(x,y)={(0, text{se } x=1),(ye^(-((y)/(x-1))^2),text{se } x!=1):}$.
Mi si chiede di verificare la continuità e derivabilità di $f$.
Per quanto riguarda la continuità, banalmente ho pensato di controllare se:
$lim_(x->1)f(x)=f(1)$.
Per quanto riguarda la derivabilità invece, mi sono sorti dei dubbi. Come procedimento avevo pensato ad utilizzare la definizione ma non sono sicuro di applicarla bene in questo caso, perchè l'avere la funzione definita per casi solo per ...
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