Esercizio sul principio di induzione
Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n ∈ N, si ha:
$\sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) * 1/(3+k) = (n+1)/(n+4) + 1/2$
Di questo esercizio riesco a dimostrare la base che è $1/2 = 1/2$
tuttavia per il passo induttivo ho un pò di dubbi, moltiplicando al primo membro, dopo aver sostituito k= n+1, e facendo il mcm al secondo ottengo una situazione da cui non riesco a procedere ulteriormente, è giusto il mio ragionamento?
Grazie
$\sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) * 1/(3+k) = (n+1)/(n+4) + 1/2$
Di questo esercizio riesco a dimostrare la base che è $1/2 = 1/2$
tuttavia per il passo induttivo ho un pò di dubbi, moltiplicando al primo membro, dopo aver sostituito k= n+1, e facendo il mcm al secondo ottengo una situazione da cui non riesco a procedere ulteriormente, è giusto il mio ragionamento?
Grazie
Risposte
Immagino che la formula da dimostrare sia questa: per ogni $n in NN$ si ha
\[
\sum_{k=0}^{n+1} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right) = \frac{n+1}{n+4} + \frac{1}{2}
\]
Corretto? Se sì, allora la base mi viene $1/2 + 1/4 = 1/4 +1/2$
Per il passo induttivo, dovresti scrivere i passaggi che hai fatto, così capiamo se ciò che hai scritto va bene.
\[
\sum_{k=0}^{n+1} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right) = \frac{n+1}{n+4} + \frac{1}{2}
\]
Corretto? Se sì, allora la base mi viene $1/2 + 1/4 = 1/4 +1/2$
Per il passo induttivo, dovresti scrivere i passaggi che hai fatto, così capiamo se ciò che hai scritto va bene.
Ciao first100,
Quella proposta è una somma telescopica:
$ \sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) \cdot 1/(3+k) = 3 \sum_{k=0}^{n+1} (1/(k + 2) - 1/(k + 3)) $
Omettendo per il momento per semplicità la costante moltiplicativa $3$ e considerando solo la somma si ha:
$s_0 = a_0 = 1/2 - 1/3 $
$s_1 = s_0 + a_1 = 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 = 1/2 - 1/4 $
$s_2 = s_1 + a_2 = 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/5 = 1/2 - 1/5 $
$s_3 = s_2 + a_3 = 1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/6 = 1/2 - 1/6 $
.
.
.
$s_n = s_{n - 1} + a_n = 1/2 - 1/(n + 2) + 1/(n + 2) - 1/(n + 3) = 1/2 - 1/(n + 3) $
$s_{n + 1} = s_n + a_{n + 1} = 1/2 - 1/(n + 3) + 1/(n + 3) - 1/(n + 4) = 1/2 - 1/(n + 4) $
Dunque si ha:
$ \sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) \cdot 1/(3+k) = 3 \sum_{k=0}^{n+1} (1/(k + 2) - 1/(k + 3)) = 3/2 - 3/(n + 4) = 1/2 + 1 - 3/(n + 4) = 1/2 + (n + 1)/(n + 4)$
Incidentalmente si ottiene:
$ \sum_{k=0}^{+\infty} 3/(2+k) \cdot 1/(3+k) = 3 \sum_{k=0}^{+\infty} (1/(k + 2) - 1/(k + 3)) = 3/2 $
Quella proposta è una somma telescopica:
$ \sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) \cdot 1/(3+k) = 3 \sum_{k=0}^{n+1} (1/(k + 2) - 1/(k + 3)) $
Omettendo per il momento per semplicità la costante moltiplicativa $3$ e considerando solo la somma si ha:
$s_0 = a_0 = 1/2 - 1/3 $
$s_1 = s_0 + a_1 = 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 = 1/2 - 1/4 $
$s_2 = s_1 + a_2 = 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/5 = 1/2 - 1/5 $
$s_3 = s_2 + a_3 = 1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/6 = 1/2 - 1/6 $
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$s_n = s_{n - 1} + a_n = 1/2 - 1/(n + 2) + 1/(n + 2) - 1/(n + 3) = 1/2 - 1/(n + 3) $
$s_{n + 1} = s_n + a_{n + 1} = 1/2 - 1/(n + 3) + 1/(n + 3) - 1/(n + 4) = 1/2 - 1/(n + 4) $
Dunque si ha:
$ \sum_{k=0}^{n+1} 3/(2+k) \cdot 1/(3+k) = 3 \sum_{k=0}^{n+1} (1/(k + 2) - 1/(k + 3)) = 3/2 - 3/(n + 4) = 1/2 + 1 - 3/(n + 4) = 1/2 + (n + 1)/(n + 4)$
Incidentalmente si ottiene:
$ \sum_{k=0}^{+\infty} 3/(2+k) \cdot 1/(3+k) = 3 \sum_{k=0}^{+\infty} (1/(k + 2) - 1/(k + 3)) = 3/2 $
Tutto molto interessante, ma ho difficoltà ad estrapolare dove è stata utilizzata l'induzione.
Mi pare di capire che first100 abbia applicato come prima ipotesi induttiva $n=0$ da cui si ottiene non quello che ha scritto bensì $ 1/2 + 1/4 = 1/4 +1/2 $, come ha detto Gi8
La seconda ipotesi induttiva chiede, supponendo che la forma si vera in $n$, cioè \[ \sum_{k=0}^{n+1} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right) = \frac{n+1}{n+4} + \frac{1}{2} \]
di verificarla per $n+1$, questo deve dare \[ \sum_{k=0}^{n+2} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right) = \frac{n+2}{n+5} + \frac{1}{2} \]
ed è questo passaggio che dobbiamo dimostrare
$sum_{k=0}^{n+2} ( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} ) = \sum_{k=0}^{n+1} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right)+( \frac{3}{2+n+2} \cdot \frac{1}{3+n+2} \right)=$ Utilizzando la seconda ipotesi induttiva
$= \frac{n+1}{n+4} + \frac{1}{2} \ + ( \frac{3}{2+n+2} \cdot \frac{1}{3+n+2} \right)=$ che facendo un po' di calcoli porta al risultato finale
$=1/2+ ((n+1)(n+5)+3)/((n+4)(n+5))=1/2+ (n^2+6n+8)/((n+4)(n+5))= $
$=1/2+ ((n+2)(n+4))/((n+4)(n+5))=1/2+ (n+2)/(n+5)$ come volevasi dimostrare
Mi pare di capire che first100 abbia applicato come prima ipotesi induttiva $n=0$ da cui si ottiene non quello che ha scritto bensì $ 1/2 + 1/4 = 1/4 +1/2 $, come ha detto Gi8
La seconda ipotesi induttiva chiede, supponendo che la forma si vera in $n$, cioè \[ \sum_{k=0}^{n+1} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right) = \frac{n+1}{n+4} + \frac{1}{2} \]
di verificarla per $n+1$, questo deve dare \[ \sum_{k=0}^{n+2} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right) = \frac{n+2}{n+5} + \frac{1}{2} \]
ed è questo passaggio che dobbiamo dimostrare
$sum_{k=0}^{n+2} ( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} ) = \sum_{k=0}^{n+1} \left( \frac{3}{2+k} \cdot \frac{1}{3+k} \right)+( \frac{3}{2+n+2} \cdot \frac{1}{3+n+2} \right)=$ Utilizzando la seconda ipotesi induttiva
$= \frac{n+1}{n+4} + \frac{1}{2} \ + ( \frac{3}{2+n+2} \cdot \frac{1}{3+n+2} \right)=$ che facendo un po' di calcoli porta al risultato finale
$=1/2+ ((n+1)(n+5)+3)/((n+4)(n+5))=1/2+ (n^2+6n+8)/((n+4)(n+5))= $
$=1/2+ ((n+2)(n+4))/((n+4)(n+5))=1/2+ (n+2)/(n+5)$ come volevasi dimostrare
Grazie mille a tutti per le risposte!
Finalmente ho capito dove sbagliavo, nel primo passaggio base consideravo erroneamente solo k=0 e quindi saltavo il termine per k=1
Finalmente ho capito dove sbagliavo, nel primo passaggio base consideravo erroneamente solo k=0 e quindi saltavo il termine per k=1
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