Analisi matematica di base

salve ragazzi, devo studiare la continuità e la differenziabilità di $ f:RR^2->RR $ al variare di $ beta∈RR $ : $ f(x,y)={x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2) $ se $ (x,y)≠(0,0) $ , $ beta $ se $ (x,y)=(0,0) $ . ho già notato che è continua solo se $ beta $ è diverso da uno. ma ora suggerimento c'è scritto che per verificare la continuità in questo caso dobbiamo mostrare che $ lim_((x,y) -> (0,0) )f(x,y)-1=0 $ la mia domanda è: perchè $ lim_((x,y) -> (0,0) )f(x,y)-1 $ ?

salve ragazzi, non capisco questa affermazione del libro: devo cercare i punti critici di $ f:RR^2->RR $ $ f(x,y)=2y^2-2y(sinx+cosx)+sin(2x) $ su $ E={(x,y)∈RR^2,|x|<=pi,|xy|<=1} $ . allora il libro dice che la funzione è limitata inferiormente ma non superiormente, infatti $ 2y^2-4y-1<=f(x,y)<=2y^2+4y+1 $ . non capisco proprio come giungere a questa conclusione... inoltre, nello specifico chiede di determinare, se esistono, minimo e massimo di f sia su $ E $ sia su $ RR^2 $ . io ho trovato, ed è giusto, che i ...

Buonasera a tutti. Come parte di una dimostrazione per mostrare che lo spazio dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue nulle agli estremi, dovrei mostrare che vale la seguente disuguaglianza per ogni n, che fin ora non ho saputo dimostrare: \( \int_0^\frac{\pi}{2} cos^{2n}(x)\ \text{d} x >\int_0^1 x^{2n}\ \text{d} x \) intuitivamente mi torna che, per n che diventa sempre più grande, il termine con $x^{2n}$ si schiacci più velocemente a 0 ...

Salve a tutti! Mi sono appena iscritta al forum mossa da un quesito che mi sta facendo impazzire!! La mia prof. di Analisi 2 ha detto che, dato un autovalore della matrice Hessiana calcolata in x0, se l'autovalore è positivo allora la funzione ristretta all'autospazio (relativo a quel dato autovalore) è convessa ed x0 è punto di minimo per la funzione ristretta all'autospazio. Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo? Anche perchè ho svolto un esercizio e non mi ritrovo per niente con questa ...

salve ragazzi, devo studiare il carattere della seguente serie: $ sum_(n =1) ^{+oo}((n+1)^{1/3}-(n)^{1/3 })(arctann^alpha) $ con $ alpha $ parametro reale. mi ha messo parecchio in difficoltà perchè anche sfruttando il limite notevole $ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha $ per il primo fattore, non riesco ad andare molto avanti con l'esercizio. spero mi possiate aiutare

Buongiorno, sto leggendo la dimostrazione del teorema sulla condizione sufficiente di differenziabilità, dal libro: Analisi Matematica 2 di Bramanti, Pagani e Salsa. La dimostrazione proposta si basa sostanzialmente sul teorema di Lagrange mediante gli intorni, mediante gli intorni è una mia interpretazione, poiché, Frammento della dimostrazione: Applicando il teorema di Lagrange alla funzione $x to f(x,y_0)$ della sola variabile $x$, possiamo scrivere $f(x_0+h, y_0)-f(x_0,y_0)= (partial f)/(partialx)(x_0+delta_1h, y_0)h$ per ...

Buongiorno a tutti volevo sapere se esiste un metodo veloce per capire se una funzione è definite/semidefinite positive o negativa. Ad esempio in questo caso: $ x_1^2+x_2^2$ so che è definita positiva perché è un paraboloide, ma per esempio questa funzione: $ -4(x_1-x_2)^4 $ il nostro professore ha detto subito che è semidefinta negativa senza spiegare il ragionamento, quindi in questo caso ad esempio come facciamo a determinarlo?

Salve. Prima di descrivere il problema faccio una veloce premessa: sono un nuovo studente iscritto all'università di matematica ed a questo forum. Ammetto di avere grandi difficoltà nello svolgimento di alcuni esercizi e uno scorretto uso del formalismo matematico. Mi scuso con tutti i matematici che saranno turbati da alcune mie affermazioni sbagliate e per certi casi inguardabili e improponibili. Grazie per il vostro aiuto e per la vostra pazienza. L'esercizio è basato su un uso scorretto ...

salve ragazzi, devo trovare i punti critici della funzione $ f:RR^2->RR $ $ f(x,y)=y^3-x^2y-y^2+x^2 $ sull'insieme $ E={(x,y)∈RR^2|x^2<=2-y<=4} $ . sto cercando innanzitutto i punti in cui si annulla il gradiente: $ { ( -2xy+2x=0 ),( 3y^2-x^2-2y=0 ):} $ ma non riesco a risolvere correttamente questo sistema, anche se semplice. potete spiegarmi come fare? inoltre, ho difficoltà nel disegnare l'insieme $ E $ : come capisco che è una parabola con concavità verso il basso e non verso l'alto?

salve ragazzi, devo studiare il carattere di una serie. la serie in questione è la seguente: $ sum_(n =0 \) ^{oo}cos(npi)((√(n+1))-√n) $ è una serie a termini positivi, inoltre razionalizzando e scrivendo $ cos(npi)=(-1)^n $ si giunge a $ sum_(n =0 \) ^{oo}(-1)^n (1/((√(n+1))+√n) ) $ . è infinitesima, ma resta da dimostrare che è decrescente in modo tale che il criterio di leibniz mi garantisca che la serie converge. per dimostrare la decrescenza calcolo la derivata prima e la pongo

buona sera, ho un dubbio sul un passaggio di un esercizio: sia $f(x,y)=(xcos(y),xsin(y))=(x',y')$ $h(x,y)=(x/(2pi))*e^(-x^2/2)$ sia poi data la formula $g(x',y')= |det(Df^(-1)(x',y'))|*h(f^(-1)(x',y'))$ ora calcolando $|det(Df^(-1)(x',y'))|$ trovo $1/|x'|$, mentre ciò che non mi torna è il seguente passaggio: perchè $h(f^(-1)(x',y'))=((x')/(2pi))*e^(-((x' )^2 + (y' )^2)/2)$ ? non mi sono chiari 2 passaggi: 1) come trova $f^(-1)(x',y')$ ? 2) dall'espressione di $h(x,y)=(x/(2pi))*e^(-x^2/2)$ perchè sostituisce a $x$ $x'$ mentre all'argomento dell'esponenziale mette al ...

Approssimazione di un numero irrazionale positivo con le ridotte (che sono numeri razionali) . Qui a pagina 3 dicono: http://www.sciacchitano.it/Corpo/frazio ... ntinue.pdf "Il numero irrazionale X è maggiore di ogni ridotta di indice dispari e minore di ogni ridotta di indice pari" Cioè: " Sia X un numero irrazionale positivo e $ \{ r_n \} $ la successione delle sue ridotte ennesime ( cioè le convergenti): Le ridotte di indice pari approssimano per eccesso X , quelle dispari per difetto: $ r_(2n-1) < X < r_(2n) $ ...

salve ragazzi, lo scopo è determinare se un punto critico è un massimo o un minimo. sono arrivato a costruire l'hessiana della funzione valutata in un un punto critico : $ ( ( 4 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ un teorema dice che: 1)se $ x^0 $ è un punto di minimo locale allora $ lambda_k≥0 $ per ogni $ k $; 2)se $ lambda_k>0 $ per ogni $ k $ allora $ x^0 $ è un punto di minimo locale stretto. Nel caso della mia matrice, gli autovalori, 4 e 2 sono entrambi ...

Buonasera, ho una mia curiosità da porvi. Definizione: Sia $f:RR^n to R$ funzione scalare definita in un intorno di $x_0 in RR^n.$ Si dice che $lim_(x to x_0) f(x)=L in RR^**,$ dove $RR^**=RR cup {pm infty}$ se per ogni successione $x_k$ in $RR^n-{x_0}$ tale che $x_k to x_0$ per $k to + infty$ si ha che $lim_(k to + infty) f(x_k)=L.$ La presente definizione mi sembra molto simile al teorema ponte, ossia il teorema che mette in relazione i limiti di successioni con i limiti di funzioni, dico ...

salve ragazzi, mi si chiede di scrivere il polinomio di taylor di grado 3 centrato nel punto $ x^0=0=(0,0,0) $ della funzione $ f:RR^3->RR $ $ f(x,y,z)=e^{x+yz}-4zsinx $ la notazione a cui sono abituata per il calcolo del polinomio di grado $ k $ è $ P_k(x)=sum_(d =0)^k1/{d!}Q_d^(f) (x-x^0) $ dove $ Q_d^(f) (x-x^0)=sum_(|alpha| = \d) (|alpha|!)/(alpha!)D^alphaf(x^0)(x-x^0)^alpha $ però i problemi nascono per $ d=2 $ :non ho problemi nel calcolare la matrice hessiana e valutarla nel punto $ (0.0.0) $ ma non capisco che valore assume il multi-indice ...

Se $ f(x) $ è derivabile in un punto $ x_0 $ allora è continua in $ x_0 $. Se $ x\nex_0 $ allora $ f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0) $ e passando al limite per $ x->x_0 $ si dimostra l’asserto. Rispetto a questa dimostrazione del libro quella che ho sugli appunti si presenta in quest’altra forma: $ |f(x)-f(x_0)|=|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}||(x-x_0)| $ Perché si introduce il valore assoluto? E poi, $ |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| ->|f’(x_0)| $ per $ x->x_0 $ ?

Ciao! Dovrei risolvere la seguente equazione differenziale: $y'=1-y^2$ Vedo subito a occhio che ho due soluzioni costanti, che sono $y_1(x)=1$ $y_2(x)=-1$ Per studiare le soluzioni non costanti, noto che l'equazione e a variabili separabili e scrivo: $(y')/(1-y^2) =1 rArr int (-2y')/(1-y^2) = int -2$ $ rArr ln(1-y^2)=-2x+c$ Se $y in (-1,1)$ allora $1-y^2=e^(-2x+c)$ $y(x)=sqrt(1-e^(-2x+c))$ La soluzione non è corretta. Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato?

salve ragazzi, vorrei chiedervi conferma su queste definizioni per capire se sto ordinando bene i concetti per una funzione illimitata su intervallo illimitato in R: un integrale di Riemann è sinonimo di integrale improprio ed è tale quando semplicemente esiste finito ed è reale il $ lim_(b -> +oo) int_(0)^(b) f(x) dx $ e affinchè esista deve essere convergente la serie $ sum_(n =0 ) ^{+oo] a_n $ un integrale è un integrale di riemann in senso generalizzato se vale tutto quello detto prima ma con condizioni in ...

Buonasera a tutti, vi chiedo aiuto per la risoluzione di questo integrale doppio con valore assoluto. $ int_(D) |y-x| dx dy $ $ D={(x,y)inmathbb(R)^2|-1<=x<=1, x^2<=y<=1 } $ Il dominio, se non erro, è una parabola con vertice nell'origine del sistema cartesiano e limitato superiormente dalla retta $ y=1 $. Essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, calcoliamo il valore dell'integrale nel primo quadrante, e moltiplichiamo per due. Gli estremi di integrazione dovrebbero essere: - ...

salve ragazzi, studiando la definizione di raggio di convergenza mi sono chiesto quale fosse il raggio di convergenza di una successione costante ma non riesco a rispondere a questa domanda