Calcolo limiti con sviluppi di Taylor

[Anto0071]

Ciao a tutti
Sto approcciando per la prima volta al calcolo dei limiti con gli sviluppi di Taylor. Con gli sviluppi in generale non ho grosse difficoltà, ma nel momento in cui vado a sostituire la funzione con il polinomio associato mi blocco con i calcoli, mi aiutereste a capire come svolgerli?
Ad esempio ho svolto questo limite
$ lim_(x -> 0) (7sin(x))/(e^(2x)-1) $ e non avuto grosse difficoltà, ho sviluppato al primo ordine:
$ 7sin(x)=7x+o(x) $ e $e^(2x)= 1+2x+o(x)$ e sostituendo nel limite ottengo
$ lim_(x -> 0)(7x+o(x))/(1+2x+o(x)-1) $ $lim_(x->0)(x(7+o(1)))/(x(2+o(1)))$ $ =7/2 $
Ma con ques'altro limite mi perdo
$ lim_(vartheta -> 0) (e^(vartheta)-e^(-vartheta)-2vartheta)/(vartheta-sin(vartheta) $
ho calcolato gli sviluppi al settimo ordine:
$ e^(vartheta)=1+vartheta+(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6+(vartheta^4)/24+vartheta^5/120+vartheta^6/720+vartheta^7/5040+o(vartheta^7) $
$ e^(-vartheta)=-1+vartheta-(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6-(vartheta^4)/24+vartheta^5/120-vartheta^6/720+vartheta^7/5040+o(vartheta^7) $
$ sin(vartheta)=vartheta-vartheta^3/6+vartheta^5/120-vartheta^7/5040+o(vartheta^7) $
sostituisco nel limite:
$ lim_(vartheta -> 0) [1+vartheta+(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6+(vartheta^4)/24+vartheta^5/120+vartheta^6/720+vartheta^7/5040+o(vartheta^7)-(-1+vartheta-(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6-(vartheta^4)/24+vartheta^5/120-vartheta^6/720+vartheta^7/5040+o(vartheta^7))-2vartheta]/[vartheta-(vartheta-vartheta^3/6+vartheta^5/120-vartheta^7/5040+o(vartheta^7))] $
$ lim_(vartheta -> 0) [1+vartheta+(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6+(vartheta^4)/24+vartheta^5/120+vartheta^6/720+vartheta^7/5040+o(vartheta^7)+1-vartheta+(vartheta^2)/2-(vartheta^3)/6+(vartheta^4)/24-vartheta^5/120+vartheta^6/720-vartheta^7/5040+o(vartheta^7)-2vartheta]/[vartheta-vartheta+vartheta^3/6-vartheta^5/120+vartheta^7/5040+o(vartheta^7)] $
semplifico:
$ lim_(vartheta -> 0) [2+vartheta^2+2((vartheta^4)/24)+2(vartheta^6/720)+o(vartheta^7)-2vartheta]/[vartheta^3/6-vartheta^5/120+vartheta^7/5040+o(vartheta^7)] $
e poi....?? dove sbaglio?? grazie a tutti per l'aiuto

[Mephlip]

Ciao! Sbagli qui lo sviluppo di $e^{-\theta}$:

"Anto007":
$ e^(-vartheta)=-1+vartheta-(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6-(vartheta^4)/24+vartheta^5/120-vartheta^6/720+vartheta^7/5040+o(vartheta^7) $

nello sviluppo dell'esponenziale, il termine $1$ è costante e quindi non va cambiato di segno quando utilizzi lo sviluppo con $-\theta$ al posto di $\theta$.
Comunque, non devi sviluppare così tanto: basta sviluppare fino a quando rimangono termini che non si cancellano.

[Anto0071]

Muchas gracias ci riprovo

[Mephlip]

Prego! Ora che ci faccio caso, in realtà è sbagliato proprio tutto lo sviluppo di $e^{-\theta}$: hai che
$$e^{-\theta}=1+(-\theta)+\frac{(-\theta)^2}{2}+\frac{(-\theta)^3}{6}+\frac{(-\theta)^4}{24}+...=1-\theta+\frac{\theta^2}{2}-\frac{\theta^3}{6}+\frac{\theta^4}{24}-...$$
Quando sei alle prime armi, ti consiglio di scriverli proprio così sostituendo termine a termine per non fare errori di segno.

[Anto0071]

che imbranata che sono, ok rifaccio tutto da capo

[Anto0071]

Ci sono riuscita!!! posso postare la mia risoluzione così me la correggi?

[Mephlip]

Certamente!

[pilloeffe]

Ciao Anto007,

"Anto007":ho calcolato gli sviluppi al settimo ordine:

Esagerata...
Ha ragione Mephlip, basta arrivare al terzo:

$\lim_{\vartheta \to 0} (e^(\vartheta)-e^(-\vartheta)-2\vartheta)/(\vartheta-sin(\vartheta)) = \lim_{\vartheta \to 0} (1+vartheta+(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6+o(\vartheta^4) - 1 +\vartheta - \vartheta^2/2 + \vartheta^3/6 - 2\vartheta)/(vartheta^3/6+o(\vartheta^4)) = 2 $

[Anto0071]

ecco il mio svolgimento del limite $ lim_(theta-> 0) (e^theta-e^-theta-2theta)/(theta-sintheta) $
gli sviluppi sono:
$e^theta=1+theta+(theta^2)/2+(theta^3)/6+o(theta^3)$
$e^(-theta)= 1-theta+(theta^2)/2-(theta^3)/6+o(theta^3)$
$sintheta=theta-(theta^3)/6+o(theta^3)$
sostituisco
$ lim_(theta-> 0)(1+theta+(theta^2)/2+(theta^3)/6+o(theta^3)-(1-theta+(theta^2)/2-(theta^3)/6+o(theta^3))-2theta)/(theta-(theta-(theta^3)/6+o(theta^3))) $
$ =lim_(theta-> 0)(1+theta+(theta^2)/2+(theta^3)/6+o(theta^3)-1+theta-(theta^2)/2+(theta^3)/6+o(theta^3)-2theta)/(theta-theta+(theta^3)/6+o(theta^3)) $
semplifico
$ =lim_(theta-> 0)((theta^3)/6+o(theta^3)+(theta^3)/6+o(theta^3))/((theta^3)/6+o(theta^3)) $
$ =lim_(theta-> 0)((theta^3)/6+(theta^3)/6+o(theta^3))/((theta^3)/6+o(theta^3)) $
$ =lim_(theta-> 0)((theta^3)/3+o(theta^3))/((theta^3)/6+o(theta^3)) $
$ =lim_(theta-> 0)(theta^3(1/3+o(1)))/(theta^3(1/6+o(1)) $ $=1/3*6=2$

[Anto0071]

"pilloeffe":Ciao Anto007,
[quote="Anto007"]ho calcolato gli sviluppi al settimo ordine:

Esagerata...
Ha ragione Mephlip, basta arrivare al terzo:

$\lim_{\vartheta \to 0} (e^(\vartheta)-e^(-\vartheta)-2\vartheta)/(\vartheta-sin(\vartheta)) = \lim_{\vartheta \to 0} (1+vartheta+(vartheta^2)/2+(vartheta^3)/6+o(\vartheta^4) - 1 +\vartheta - \vartheta^2/2 + \vartheta^3/6 - 2\vartheta)/(vartheta^3/6+o(\vartheta^4)) = 2 $[/quote]

perdonatemi, era il mio primo tentativo !! perchè sbagliavo lo sviluppo di $e^(-theta)$ (come mi ha fatto notare Mephlip)e non riuscivo a cavare un ragno dal buco , quindi aumentavo sempre più l'ordine di espansione. I latini dicevano: melius est abundare quam deficere, ma questa era l'eccezione che conferma la regola

[dissonance]

melius abundare quam deficere

Vero. Ma noi siamo moderni e diciamo robe molto più brutte come "less is more". In questo caso, direi che "more is less", nel senso che sviluppando eccessivamente si crea molto rumore, molti termini che non servono e che rendono difficile capire cosa sta succedendo.