Uniforme continuità funzione definita a tratti

[mbistato]

Salve a tutti, sto cercando di studiare l'uniforme continuità nell'intervallo $]-\infty,4]$ della seguente funzione:

$$f(x)=\begin{cases}
\arcsin(\sqrt{x}-1) & x\in [0,4]\\
\frac{\pi}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right) & x\in]-\infty,4[\end{cases}$$

Le due leggi prese singolarmente sono U.C. nei rispettivi intervalli ma non riesco ad arrivare all'uniforme continuità in tutto $]-\infty,4]$ utilizzando le più importanti condizioni necessarie e quelle sufficienti che la teoria ci mette a disposizione. Non credo sia nemmeno semplice provare la lipschitzianità data la natura della f nè quanto meno provare l'U.C. utilizzando la definizione.

Qualche consiglio?

[marco2132k]

Scusami ma non è che c'è un errore nel testo?

[mbistato]

Non saprei sinceramente. Il testo originale dell'esercizio preso da un esame universitario è:

Detto $X$ il campo di esistenza della funzione
$$f(x)=\arcsin(\sqrt{x}-1)$$

studiare l'uniforme continuità in $]-\infty, 4]$ e in $[0,+\infty[$ della funzione $g$ definita tramite la legge
\[ g(x)=\begin{cases}f(x) & x\in X\\ \frac{\pi}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right) & x\in\mathbb{R}^{-}-X\\ \left(\frac{\pi}{2}\right)^{x-3} & x\in\mathbb{R}_0^+-X\end{cases} \]

[@melia]

Nel primo messaggio hai scritto $]-oo,4[$ al posto di $]-oo, 0[$

[marco2132k]

Sì, è scritto malissimo: \( f\colon \mathbb R\to \mathbb R \) mappa
\[
f(x) =
\begin{cases}
\
\frac{\pi}{2}\sin(x - \frac{\pi}{2}) & \text{se $x\in\left]-\infty,0\right[$}\\
\frac{\pi}{2}\arcsin(\sqrt x - 1) & \text{se $x\in\left[0,4\right]$}\\
\end{cases}
\] nel seguito.

Ciò detto, mi pare che la risposta sia "sì, \( f \) è uniformemente continua", perché vale un analogo (più o meno) del pasting lemma in questo caso. Ma è tardi c:

[mbistato]

Si, ho scritto male. La legge con il seno é definita tra meno infinito a zero. Quale sarebbe questo "pasting lemma"?

[marco2132k]

Dimostra che se \( X\subset \mathbb R \) con \( X_1,X_2\subset X \) tali che \( X=X_1\cup X_2 \), e \( f\colon X\to \mathbb R\) è continua, allora se le restrizioni \( f{\restriction_{X_i}} \) sono uniformemente continue, per \( i=1,2 \), allora tutta f è uc.

Non so se c'è un modo più da smanettoni però.

[dissonance]

Ma invece di uscirsene con "pasting lemmas" preconfezionati, che non fanno capire davvero cosa succede, non è meglio mettere un po' le mani sull'esempio esplicito? (Questa è una critica che muovo al me stesso di quando ero studente. All'epoca, me ne sarei sicuramente uscito con un pasting lemma anche io. Ora mi accorgo che non è la cosa migliore da fare. Sono completamente d'accordo con queste raccomandazioni di Georges Elencwajg).

Comunque, la strategia da seguire è, naturalmente, corretta. "Uniformemente continua" è una funzione per cui la relazione \(\delta=\delta(\epsilon)\) vale indipendentemente da \(x\). Qui abbiamo una funzione che è uniformemente continua su due intervalli, e quindi, abbiamo due relazioni \(\delta_1(\epsilon)\) e \(\delta_2(\epsilon)\). Bisogna capire come incollarle. Si potrebbe prendere \(\delta=\min(\delta_1, \delta_2)\)...

[gugo82]

[ot]

"dissonance":Ma invece di uscirsene con "pasting lemmas" preconfezionati, che non fanno capire davvero cosa succede, non è meglio mettere un po' le mani sull'esempio esplicito? (Questa è una critica che muovo al me stesso di quando ero studente. All'epoca, me ne sarei sicuramente uscito con un pasting lemma anche io. Ora mi accorgo che non è la cosa migliore da fare. [...]).

E se lo avresti fatto tu, figurati uno che è traviato dalla Teoria delle Categorie e dall'anglofilia, che considera "da smanettoni" il resto... [/ot]

P.S.: Ma il pasting lemma si prende prima o dopo i pasti?

[marco2132k]

Beh, sinceramente non vedo il senso di ripetere letteralmente la dimostrazione di un fatto generale scrivendo "\( \arcsin(\sqrt x - 1) \)" al posto di "\( f(x) \)". Piuttosto, che possa essere vero qualcosa di simile al risultato che ho enunciato io, è proprio il dubbio che un esercizio del genere di solito instilla a chi lo fa...

Sul "preconfezionato". Tutti i teoremi sono fatti "preconfezionati", se vuoi, lol. La distinzione tra applicare un teorema e ripeterne la dimostrazione in un caso particolare è piuttosto artificiale...

@gugo82:


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