Massimi e minimi di una funzione su un insieme
Ciao!
Dovrei trovare il massimo e il minimo di $f(x,y)=(x^4)/4+(y^3)/3+2x^2y-9y$
sull'insieme $A={(x,y)inRR^2|min{x,y}>=0,max{x,y}<=3}$
Ho trovato i punti critici di $f$ e ho notato che non sono punti interni ad $A$.
Perciò Fermat mi permette di dedurre che il $max$ e $min$ appartengono alla frontiera di $A$.
L'idea è quella di vedere l'insieme $A$ come una curva chiusa regolare a tratti, essendo $A$ il quadrato di vertici $(0,0) , (0,3) , (3,3) , (3,0)$.
Di conseguenza posso "leggere la funzione lungo la curva", in particolare lungo i quattro lati del quadrato, ottenendo le seguenti funzioni:
$\phi_1(t):=f(t,0)=(t^4)/4$
$\phi_2(t):=f(t,3)=(t^4)/4+6t^2-18$
$\phi_3(t):=f(0,t)=(t^3)/3-9t$
$\phi_4(t):=f(3,t)=(t^3)/3+9t+81/4$
tutte definite per $tin[0,3]$
Calcolo la loro derivata per studiarne la monotonia, ma a questo punto, a molti di voi sembrerà banale, ma non riesco a capire come scegliere i punti di minimo e di massimo.
Ringrazio in anticipo ogni risposta.
Dovrei trovare il massimo e il minimo di $f(x,y)=(x^4)/4+(y^3)/3+2x^2y-9y$
sull'insieme $A={(x,y)inRR^2|min{x,y}>=0,max{x,y}<=3}$
Ho trovato i punti critici di $f$ e ho notato che non sono punti interni ad $A$.
Perciò Fermat mi permette di dedurre che il $max$ e $min$ appartengono alla frontiera di $A$.
L'idea è quella di vedere l'insieme $A$ come una curva chiusa regolare a tratti, essendo $A$ il quadrato di vertici $(0,0) , (0,3) , (3,3) , (3,0)$.
Di conseguenza posso "leggere la funzione lungo la curva", in particolare lungo i quattro lati del quadrato, ottenendo le seguenti funzioni:
$\phi_1(t):=f(t,0)=(t^4)/4$
$\phi_2(t):=f(t,3)=(t^4)/4+6t^2-18$
$\phi_3(t):=f(0,t)=(t^3)/3-9t$
$\phi_4(t):=f(3,t)=(t^3)/3+9t+81/4$
tutte definite per $tin[0,3]$
Calcolo la loro derivata per studiarne la monotonia, ma a questo punto, a molti di voi sembrerà banale, ma non riesco a capire come scegliere i punti di minimo e di massimo.
Ringrazio in anticipo ogni risposta.
Risposte
Ciao ekim,
Comincerei con l'osservare che la funzione $z = f(x, y) = (x^4)/4+(y^3)/3+2x^2y-9y = (x^4)/4+(y^3)/3+y(2x^2 - 9) $ è definita in $D = \RR^2 $ ed è ivi pari rispetto a $x$ essendo $f(- x, y) = f(x, y) $. Poi andrei a vedere che cosa accade nei $4$ punti che hai già trovato, cioè $O(0,0) $, $P(0, 3)$, $Q(3, 0)$ e $R(3,3) $:
$z_O = f(O) = f(0,0) = 0 $
$z_P = f(P) = f(0,3) = 9 - 27 = - 18 $
$z_Q = f(Q) = f(3,0) = 3^4/4 = 81/4 $
$z_R = f(R) = f(3,3) = 81/4 + 9 + 3(18 - 9) = 81/4 + 9 + 27 = 81/4 + 36 = 225/4 $
Quanto alle funzioni $\phi_i (t) $, $i = 1,2,3,4 $ sono tutte funzioni polinomiali aventi andamento simile a quello di una parabola ($\phi_1 (t) $ e $\phi_2 (t) $, che sono anche pari rispetto a $t$) e a quello di una cubica ($\phi_3 (t) $ e $\phi_4 (t) $, con $phi_3(t)$ che è anche dispari rispetto a $t$), per cui non dovresti avere problemi a capire come funziona la faccenda...
Comincerei con l'osservare che la funzione $z = f(x, y) = (x^4)/4+(y^3)/3+2x^2y-9y = (x^4)/4+(y^3)/3+y(2x^2 - 9) $ è definita in $D = \RR^2 $ ed è ivi pari rispetto a $x$ essendo $f(- x, y) = f(x, y) $. Poi andrei a vedere che cosa accade nei $4$ punti che hai già trovato, cioè $O(0,0) $, $P(0, 3)$, $Q(3, 0)$ e $R(3,3) $:
$z_O = f(O) = f(0,0) = 0 $
$z_P = f(P) = f(0,3) = 9 - 27 = - 18 $
$z_Q = f(Q) = f(3,0) = 3^4/4 = 81/4 $
$z_R = f(R) = f(3,3) = 81/4 + 9 + 3(18 - 9) = 81/4 + 9 + 27 = 81/4 + 36 = 225/4 $
Quanto alle funzioni $\phi_i (t) $, $i = 1,2,3,4 $ sono tutte funzioni polinomiali aventi andamento simile a quello di una parabola ($\phi_1 (t) $ e $\phi_2 (t) $, che sono anche pari rispetto a $t$) e a quello di una cubica ($\phi_3 (t) $ e $\phi_4 (t) $, con $phi_3(t)$ che è anche dispari rispetto a $t$), per cui non dovresti avere problemi a capire come funziona la faccenda...
Grazie pilloeffe per la risposta!
Tuttavia non capisco come possa intuire a priori di andare a vedere cosa accade per i soli 4 vertici del quadrato (senza quindi considerare tutti gli altri punti del perimetro di $A$), senza effettuare prima lo studio delle funzioni $phi_i$.
Per quanto riguarda invece lo studio delle $phi_i$ enuncio il mio ragionamento di cui chiedo gentilmente conferma:
$phi_1(t)$ è crescente (lettura su lato orizzontale adiacente all'asse $x$)
$phi_2(t)$ è crescente (lettura su lato orizzontale ad altezza $y=3$)
$phi_3(t)$ è decrescente (lettura su lato verticale adiacente asse $y$)
$phi_4(t)$ è crescente (lettura su lato verticale ad ascissa $x=3$)
L'andamento delle 4 funzioni mi porta ad individuare in $(0,3)$ e $(3,3)$ i punti di minimo e massimo rispettivamente.
Però capisco anche che se ad esempio $phi_4(t)$ fosse stata decrescente allora sarei dovuto andare a vedere il valore nei rispettivi 4 punti $O,P,Q,R$ come da te suggerito in partenza..
Non so ho confusione.. da un lato ho capito, dall'altro vorrei capire come non dovermi perdere in studi superflui ed arrivare a vedere cosa accade direttamente nei punti di maggiore interesse, perché all'esame non ho mai tempo sufficiente
Tuttavia non capisco come possa intuire a priori di andare a vedere cosa accade per i soli 4 vertici del quadrato (senza quindi considerare tutti gli altri punti del perimetro di $A$), senza effettuare prima lo studio delle funzioni $phi_i$.
Per quanto riguarda invece lo studio delle $phi_i$ enuncio il mio ragionamento di cui chiedo gentilmente conferma:
$phi_1(t)$ è crescente (lettura su lato orizzontale adiacente all'asse $x$)
$phi_2(t)$ è crescente (lettura su lato orizzontale ad altezza $y=3$)
$phi_3(t)$ è decrescente (lettura su lato verticale adiacente asse $y$)
$phi_4(t)$ è crescente (lettura su lato verticale ad ascissa $x=3$)
L'andamento delle 4 funzioni mi porta ad individuare in $(0,3)$ e $(3,3)$ i punti di minimo e massimo rispettivamente.
Però capisco anche che se ad esempio $phi_4(t)$ fosse stata decrescente allora sarei dovuto andare a vedere il valore nei rispettivi 4 punti $O,P,Q,R$ come da te suggerito in partenza..
Non so ho confusione.. da un lato ho capito, dall'altro vorrei capire come non dovermi perdere in studi superflui ed arrivare a vedere cosa accade direttamente nei punti di maggiore interesse, perché all'esame non ho mai tempo sufficiente
"ekim":
Grazie pilloeffe per la risposta!
Prego!
"ekim":
Per quanto riguarda invece lo studio delle $\phi_i $ enuncio il mio ragionamento di cui chiedo gentilmente conferma:
$\phi_1(t)$ è crescente (lettura su lato orizzontale adiacente all'asse $x$)
$\phi_2(t)$ è crescente (lettura su lato orizzontale ad altezza $y=3$)
$\phi_3(t)$ è decrescente (lettura su lato verticale adiacente asse $y$)
$\phi_4(t)$ è crescente (lettura su lato verticale ad ascissa $x=3$)
L'andamento delle 4 funzioni mi porta ad individuare in $(0,3)$ e $(3,3)$ i punti di minimo e massimo rispettivamente.
Mi pare corretto.
Da notare che $\phi_3(t)$ è decrescente solo nell'intervallo $[- 3, 3] $, ma dato che guardacaso siamo nell'intervallo $[0, 3]$...
"ekim":
Non so ho confusione.. da un lato ho capito, dall'altro vorrei capire come non dovermi perdere in studi superflui ed arrivare a vedere cosa accade direttamente nei punti di maggiore interesse, perché all'esame non ho mai tempo sufficiente
No, ma non ti sei perso in calcoli superflui... Semplicemente, osservando quelle 4 $\phi_i(t) $ e tenendo presente qual è l'andamento di massima di quelle funzioni, si capisce che nessuna di esse ha massimi o minimi compresi nell'intervallo $(0, 3)$, ne consegue che i punti di massimo e di minimo vincolati ad $A$ della funzione $z = f(x, y) $ devono trovarsi giocoforza fra i vertici del quadrato $OPQR $
Ok ora ho capito, mi è tutto chiaro!
Esercitandomi mi verrà tutto più automatico
Molto gentile, di nuovo grazie per la risposta
Esercitandomi mi verrà tutto più automatico
Molto gentile, di nuovo grazie per la risposta
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