Analisi matematica di base

Salve, ho da poco studiato il teorema per fare un limite di una funzione composta (il limite della funzione composta è uguale al limite della funzione più esterna calcolato nel punto di accumulazione che è il limite della funzione più interna) e quindi per esempio, in $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \cos({{3}\over{e^{x}}})$$ calcolo prima il limite a +infinito di 3/e^x, risultato 0 e poi calcolo $$\lim_{y\rightarrow 0}\ ...

Salve a tutti, sono giorni che sto cercando di risolvere questo integrale doppio, riuscendo ad ottenere il risultato giusto solo in parte. $ int int_(D)^( ) |y-sqrt(x) | dx dy $ Il dominio D è [(x,y): $ x+y<= 2 , x>= 0 , y>= 0 $ ]. Ho disegnato il grafico del dominio D, ho studiato quando il valore assoluto è maggiore di zero e ho intersecato al grafico di D il grafico di $ y= sqrt(x) $ : ottengo due figure, una nella zona in cui il valore assoluto è > 0 (D1) e una in quella in cui è < 0 (D2). D1 ...

ciao a tutti, Io ho letto di successioni di funzioni e di successioni di cauchy. Domanda: ha senso parlare di successioni di funzioni di Cauchy?

Ciao! Dovrei trovare il massimo e il minimo di $f(x,y)=(x^4)/4+(y^3)/3+2x^2y-9y$ sull'insieme $A={(x,y)inRR^2|min{x,y}>=0,max{x,y}<=3}$ Ho trovato i punti critici di $f$ e ho notato che non sono punti interni ad $A$. Perciò Fermat mi permette di dedurre che il $max$ e $min$ appartengono alla frontiera di $A$. L'idea è quella di vedere l'insieme $A$ come una curva chiusa regolare a tratti, essendo $A$ il quadrato di vertici ...

Dato questo sistema lineare differenziale non omogeneo in funzione di $x(t),y(t)$: $\{(x'=2x+y+e^(-2t)),(y'=4x-y-e^(-2t)):}$ per trovare la soluzione generale omogenea ho trovato gli autovalori $lambda_1=3,lambda_2=-2$, poi gli autovettori $\vec v1=(1,1)$ e $\vec v2=(1,-4)$ e quindi ho: $((x(t)),(y(t)))=((c_1e^(3t)+c_2e^(-2t)),(c_1e^(3t)-4c_2e^(-2t)))$ La matrice wronskiana dovrebbe essere $((e^(3t),e^(-2t)),(e^(3t),-4e^(2t)))$ Mi pareva di aver capito che ogni riga della wronskiana è la derivata della riga sopra, ma qui non è così; Vorrei capire se ho sbagliato qualcosa o se ciò ...

ciao a tutti, ho un problema con lo svolgimento di due esercizi che non riesco ben a capire... 1) data la funzione $f(x)=x(1+e^x)$, invertibile per x>1, risulta: $A: [f^-1]^{\prime}(e+1)= 1/(1+2e)$ $B:[f^-1]^{\prime}(e+1)=1+2e$ $C: [f^-1]^{\prime}(e+1)=1/(2e)$ $D: [f^-1]^{\prime}(e+1)=1/(1+(e+2)e^(e+1)$ il risultato giusto secondo i miei calcoli dovrebbe essere la prima: $x(1+e^x)=1+e$ quando $x=1$ quindi $1/f^{\prime}(1)$ =$1/(1+2e)$ procedimento giusto? il secondo però è il vero problema: 2) Data la funzione ...

scusate ma non riesco a capire questa operazione con i numeri complessi: modulo quadro di 1 - exp(i2x) il risultato dovrebbe essere 4sen^2(x) se qualcuno potesse gentilmente spiegarmi i passaggi gliene sarei grato

Ciao a tutti! Dovrei calcolare il volume del seguente solido: \(\displaystyle V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^2 | x^2+y^2\le1, -2\le z\le 1-\sqrt{x^2+y^2}\} \) Utilizzando il Teorema di Guldino, solo che non ho ben capito come... qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie in anticipo! p.s. ho calcolato il volume svolgendo l'integrale triplo $\int\int\int_V 1\ dx\ dy\ dz$ e passando in coordinate cilindriche, ma l'esercizio richiede espressamente l'utilizzo di Guldino

Considerate una funzione $u(x,y):RR^2 ->RR $ $u in C^(oo)$ Perchè il gradiente della funzione è sempre perpendicolare al grafico della funzione?

Sia $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione che ammette lo sviluppo \[f(x)= 2+x^2+x^5 + o(x^5)\] per $x \rightarrow 0$. Allora: 1) $f$ è derivabile almeno $5$ volte in $x=0$ 2) $f$ è derivabile almeno $2$ volte in $x=0$ 3) $f$ è derivabile almeno $1$ volta in $x=0$ 4) $f$ è derivabile al massimo $5$ volte in $x=0$ Io avrei messo come vere ...

devo determinare massimo e minimo assoluto di $ f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 $ su $ E={(x,y,z)∈RR^3:x^2+y^2=z,y=z^2} $ . vorrei usare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, assicurandomi prima che $ J_F(x,y,z)=( ( 2x , 2y , -1 ),( 0 , 1 , -2z ) ) $ abbia rango massimo. l'esercizio dice che $ J_F $ ha rango massimo in tutti i punti di $ E $ perchè non ha rango massimo se $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ che però non soddisfano i vincoli di E. ora: da dove escono questi punti $ x=0 $ e $ 4yz=1 $ ? mi ...

la funzione $y=(x-2)^(1/3)$, per $x->2$ è asintotica a: A $y=x^(1/3)$ B $y=2-x^(1/3)$ C $y=x-2$ D $y=x^(1/3)-2$ E nessuna delle precedenti Non riesco ben a capire come trovare l'asintotico di sta funzione, in questo caso so che la risposta corretta è "nessuna delle precedenti" ma non è questo il problema, vorrei capire un metodo corretto per trovarne l'asintotico, in questo caso bastava fare $lim f(x)/g(x)$ e vedere se risultava 1, ma così è un metodo ...

devo risolvere il PdC $ { ( y''+3y'+2y=e^x+e^(-x) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):} $ . trovo la soluzione generica: $ y(x)=c_1e^(-x)+c_2e^(-2x) $ . ho problemi nel trovare la soluzione particolare: se non sbaglio vanno considerate le due funzioni test $ y_1(x)=Ae^x $ e $ y_2(x)=Bxe^(-x) $ allora $ y_1''+3y_1'+2y_1=6Ae^x=e^x=>A=1/6 $ . però $ y_2''+3y_2'+2y_2=2Be^(-x)=e^(-x)=>B=1/2 $ non combacia con la soluzione del professore, che invece scrive $ B=1 $ . potreste aiutarmi a capire l'errore che commetto?

devo calcolare $ int int int_(E)^() z/(xy)dx dy dz $ dove $ E={(x,y,z)∈RR^3:y<=x<=z^2<=4y,x^2<=y<=2x^2,z>=0} $ . riscrivo $ E={(x,y,z)∈RR^3:(x,y)∈F,√x<=z<=2√y} $ e $ F={(x,y)∈RR^2:y<=x<=4y,x^2<=y<=2x^2} $ . ora inizio a non seguire più il mio professore, che dice che possiamo introdurre le variabili $ m=y/x $ e $ a=y/x^2 $ ottenendo $ m∈[1/4,1],a∈[1,2] $ . mi è chiaro il cambio di variabili $ a $ , ma non ho capito come mai risulti $ m∈[1/4,1] $

devo studiare il carattere dei punti critici di $ f(x,y,z)=(e^(xy)z)/(1+z^2) $ . trovo che i punti che annullano il gradiente sono $ (0,0,1),(0,0,-1) $ . valuto la matrice hessiana nei punti trovati: considero il punto $ (0.0.1) $ : $ (( 0 , +1/2 , 0 ),( +1/2 , 0 , 0 ),( -1/2 , 0 , 0 ) ) $ . il mio professore scrive che abbiamo l'autovalore $ -1/2 $ e un determinante positivo. mi confermate che è solo un errore di stampa e che non sia affatto così? poi passo allo studio di massimi e minimi della funzione su $ E={(x,y,z)∈RR^3|x^2+y^2<=2} $ e ...

Se \( f \) e \( g \) sono due funzioni continue di uno spazio metrico \( E \), a valori reali, e tali che \( f(x)\leqq g(x) \) per ogni \( x \) in un denso di \( E \), è immediato far vedere che \( f\leqq g \) su tutto \( E \) (basta provare che l'insieme dove quella disuguaglianza è vera è un chiuso). Un'applicazione scema di questo fatto è la seguente: \( \mathbb N \) è un denso di \( \widetilde{\mathbb N} := \mathbb N\cup\{\infty\} \); quindi, se \( (x_n)_n \) e \( (y_n)_n \) sono due ...

Io sapevo che la derivata di un vettore è sempre perpendicolare al vettore stesso, però oggi mi è venuto in mente un esempio: Sia la retta $y=1$, la parametrizzo come $\vec r (t)=t\vec i +1\vec j$ cioè il vettore $(t,1)$ e la sua derivata è sempre il vettore $(1,0)$ Il vettore $\vec r(t)$ parte dall'origine e punta la curva, mentre $\vec r'(t)$ è il vettore tangente alla curva; però se per esempio li guardo nel grafico nel punto (1,1) non sono mica ...

devo studiare la convergenza di $ int_(0)^(+oo) (arctan(x^(-1))/(x^(1/3))) dx $ dapprima studio la convergenza in zero: $ int_(0)^(1) (arctan(x^(-1))/(x^(1/3))) dx $ . il mio testo dice che l'integrale converge perchè: $ lim_(x -> 0+) arctan(x^-1)=pi/2 $ dunque esiste un $ delta>0:∀x∈(0,delta)arctan(x^-1)/x^(1/3)<=2*1/x^(1/3) $ e poichè $ 1/3<1 $ alloora $ int_(0)^(1) (2)/(x^(1/3)) dx <+oo $ allora deduciamo per confronto che $ int_(0)^(1) (arctan(x^(-1))/(x^(1/3))) dx <+oo $ . vorrei chiedervi una spiegazione del perchè di questi passaggi, in modo tale da provare a fare io lo studio della convergenza all'infinito

Buongiorno, avevo un dubbio su questo passaggio, che ho letto scritto: Da questo, $\dot{\mu}_1(t)= r_1 \mu_1(t) - q_1+ \mu_1(t), \quad \quad \mu_1(T)=S_1,$ per $t\in[0,T]$ e con $S_1,q_1,r_1>0$. Poichè vale questo dice, $$\dot{\mu}_1(t)|_{\mu_1(t)=0}=-q_i

devo discutere la convergenza dell'integrale $ int_(0)^(+oo) (e^x-1)/(arctan(√x^alpha)alpha^x dx $ al variare di $ alpha>0 $ . allora ho calcolato $ lim_(x -> +oo) ((e^x-1)/(arctan(√x^alpha)alpha^x))/((e^x)/alpha^x)=2/pi $ ossia l'integrale di partenza è integrabile in senso generalizzato su $ [1,+oo) $ se lo è $ int_(0)^(+oo) e^x/alpha^x dx $ quindi calcolo $ lim_(a -> +oo) int_(1)^(a) (e/alpha)^x dx $ . la soluzione è che converge se e solo se $ alpha>e $ però non capisco quali sono i calcoli giusti da fare.. $ lim_(a -> +oo) ((e/alpha)^(x+1)/(x+1))|_(x=1)^(x=a) $ ?