Rappresentazione grafica insiemi

[ekim1]

Ciao!
Mi trovo in difficoltà nel comprendere la forma degli insiemi.
Mi spiego meglio: l' esercizio richiede di descrivere e disegnare l'insieme $E$

$E={(x,y,z)inRR^3:3|y|<=sqrt(3)x, z^2<=min{x^2+y^2,6-sqrt(x^2+y^2)} }$

Per descriverlo ho effettuato un cambio di coordinate, passando a quelle cilindriche, ottenendo che $E$ corrisponde a $F={(rho,t,theta)| (rho,t)inOmega_1uuOmega_2 , thetain[-pi/6,pi/6]}$
dove
$Omega_1={(rho,t)|0<=rho<=2 , -rho<=t<=rho} $
e
$Omega_2={(rho,t)|2<=rho<=6 , -sqrt(6-rho)<=t<=sqrt(6-rho)}$

A questo punto non riesco a capire che ragionamento seguire per comprendere la forma di quell'insieme.

Ringrazio in anticipo ogni risposta!

[Studente Anonimo]

Intanto, necessariamente:

$\{(\rho^2 gt= 0),(6-\rho gt= 0):} rarr 0 lt= \rho lt= 6$

Inoltre, poiché:

$[\rho^2 lt= 6-\rho] rarr [\rho^2+\rho -6 lt= 0] rarr [0 lt= \rho lt= 2]$

almeno per quanto riguarda la seconda condizione:

$\{(0 lt= \rho lt= 2),(z^2 lt= \rho^2):} vv \{(2 lt= \rho lt= 6),(z^2 lt= 6-\rho):} rarr \{(0 lt= \rho lt= 2),(-\rho lt= z lt= \rho):} vv \{(2 lt= \rho lt= 6),(-sqrt(6-\rho) lt= z lt= sqrt(6-\rho)):}$

può essere utile un grafico bidimensionale nel piano $\rhoz$:

in cui la curva è un arco di parabola. Infine, per simmetria, il grafico tridimensionale altro non è che il volume spazzato in una rotazione completa attorno all'asse z. A questo punto, non resta che considerare il solo "spicchio" corrispondente alla prima condizione:

$\{(cos\phi gt= 0),(|tan\phi| lt= sqrt3/3):} rarr -\pi/6 lt= \phi lt= \pi/6$

[ekim1]

Ok grazie!
Sul piano $rhoz$ ho capito come funziona, ma da cosa hai dedotto che si tratta di un solido di rotazione attorno all'asse $z$ ?
Dal fatto che nella seconda condizione è presente $x^2+y^2$ ?

[Studente Anonimo]

Meglio dire che la seconda condizione non dipende da $\phi$.

[ekim1]

Davvero grazie! Molto gentile!