Ricerca massimo/minimo vincolati
Buongiorno a tutti, ho questo esercizio classico di ricerca di massimi e minimi vincolati di cui non riesco a risolvere il sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite usando il metodo di moltiplicatori di Lagrange.
Il testo dice, data $ f(x,y,z)=xy+2yz+7xz $ calcolare il massimo ed il minimo assoluti in f vincolati all'insieme $ S={(x,y,z)in mathbb(R)^3:x+y+z=12, x>=0,y>0,z>=0 } $
La mia idea è stata di riconoscere S come una superficie (posso esplicitarla in z e diventa l'equazione di un piano). Dunque non devo andare a studiare in punti interni ad S. La funzione f non è facile da parametrizzare. Posso usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
La funzione è sempre positiva sul vincolo S e se impongo il punto di coordinate (0,0,0) trovo che la funzione è nulla dunque il punto \( \mathrm{A}=(0,0,0) \) è un candidato.
Ora ricerco i punti sul bordo del vincolo dunque $ \partial S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+y+z<12, x>=0,y>=0,z>=0} $ e usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e sviluppando la funzione Lagrangiana ottengo il sistema $ { ( y+7z=lambda ),( x+2z=lambda ),( 2y+7x=lambda ),(x+y+z=12):} $
di cui non riesco a districarmi dagli innumerevoli calcoli iterati (ho usato il metodo per sostituzione, più rapido e consigliato anche in seduta di esame)
I risultati sono che la funzione f presenta un minimo di valore 0 e un massimo di valore 252
grazie in anticipo
Il testo dice, data $ f(x,y,z)=xy+2yz+7xz $ calcolare il massimo ed il minimo assoluti in f vincolati all'insieme $ S={(x,y,z)in mathbb(R)^3:x+y+z=12, x>=0,y>0,z>=0 } $
La mia idea è stata di riconoscere S come una superficie (posso esplicitarla in z e diventa l'equazione di un piano). Dunque non devo andare a studiare in punti interni ad S. La funzione f non è facile da parametrizzare. Posso usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
La funzione è sempre positiva sul vincolo S e se impongo il punto di coordinate (0,0,0) trovo che la funzione è nulla dunque il punto \( \mathrm{A}=(0,0,0) \) è un candidato.
Ora ricerco i punti sul bordo del vincolo dunque $ \partial S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+y+z<12, x>=0,y>=0,z>=0} $ e usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e sviluppando la funzione Lagrangiana ottengo il sistema $ { ( y+7z=lambda ),( x+2z=lambda ),( 2y+7x=lambda ),(x+y+z=12):} $
di cui non riesco a districarmi dagli innumerevoli calcoli iterati (ho usato il metodo per sostituzione, più rapido e consigliato anche in seduta di esame)
I risultati sono che la funzione f presenta un minimo di valore 0 e un massimo di valore 252
grazie in anticipo
Risposte
Ripartiamo da zero.
Il vincolo è un volume. Se tracci il vettore (4,4,4) e il piano perpendicolare ad esso, abbiamo una parte del vincolo.
Gli altri tre vincoli sono i piani xy, xz e yz.
Dalle disequazioni, scopriamo che il vincolo è un tetraedro irregolare che sta sul primo ottante.
Per prima cosa quindi troviamo massimi e minimi (se esistono) ponendo uguale a zero le derivate parziali e nel caso esistessero verifichiamo che siano contenuti in S.
Successivamente dobbiamo trovare i massimi e minimi vincolati sulle 4 superfici che compongono le facce del tetraedro...quindi troviamo prima i punti di intersezione con gli assi.
Il sistema che hai provato a scrivere varrebbe solo per una faccia del tetraedro ma non si scrive così (rivedi la teoria).
Il vincolo è un volume. Se tracci il vettore (4,4,4) e il piano perpendicolare ad esso, abbiamo una parte del vincolo.
Gli altri tre vincoli sono i piani xy, xz e yz.
Dalle disequazioni, scopriamo che il vincolo è un tetraedro irregolare che sta sul primo ottante.
Per prima cosa quindi troviamo massimi e minimi (se esistono) ponendo uguale a zero le derivate parziali e nel caso esistessero verifichiamo che siano contenuti in S.
Successivamente dobbiamo trovare i massimi e minimi vincolati sulle 4 superfici che compongono le facce del tetraedro...quindi troviamo prima i punti di intersezione con gli assi.
Il sistema che hai provato a scrivere varrebbe solo per una faccia del tetraedro ma non si scrive così (rivedi la teoria).
Ciao Sacio,
Dato che evidentemente $f(x,y,z) = xy+2yz+7xz $ è definita in $D =\RR^3 $ ed è senz'altro positiva se $xy > 0$, $yz > 0 $, $xz > 0 $ o al più nulla nel punto $O(0, 0, 0) $, inserirei il vincolo $z = 12 - x - y $ nell'espressione di $f(x,y,z) $ in modo tale da ottenere la funzione nelle due sole variabili $x$ e $y$ seguente:
$f(x, y) = xy+2y(12 - x - y)+7x(12 - x - y) = $
$ = xy + 24y - 2xy - 2y^2 + 84x - 7x^2 - 7xy = - 7x^2 - 8xy - 2y^2 + 84x + 24y $
$ (del f)/(del x) = 0 \implies - 14x - 8y + 84 = 0 \implies - 7x - 4y + 42 = 0 $
$ (del f)/(del y) = 0 \implies - 8x - 4y + 24 = 0 \implies 2x + y - 6 = 0 $
Quindi basta risolvere il sistema lineare seguente:
${(- 7x - 4y + 42 = 0),(2x + y - 6 = 0):} $
${(- 7x - 4y + 42 = 0),(y = - 2x + 6):} $
${(- 7x - 4(- 2x + 6) + 42 = 0),(y = - 2x + 6):} $
${(- 7x + 8x - 24 + 42 = 0),(y = - 2x + 6):} $
${(x = - 18),(y = 42):} $
Quindi $A(- 18, 42, - 12) $ e $w_A = f(A) = f(- 18, 42, - 12) = $
$ = -18(42)+2(42)(- 12)+7(-18)(- 12) = - 756 - 1008 + 1512 = - 252 $
In definitiva per la funzione proposta mi risulta un massimo nel punto $O(0, 0, 0) $ che vale $w_O = f(O) = 0 $ ed un minimo nel punto $A(- 18, 42, - 12) $ che vale $w_A = f(A) = f(- 18, 42, - 12) = - 252 $
Dato che evidentemente $f(x,y,z) = xy+2yz+7xz $ è definita in $D =\RR^3 $ ed è senz'altro positiva se $xy > 0$, $yz > 0 $, $xz > 0 $ o al più nulla nel punto $O(0, 0, 0) $, inserirei il vincolo $z = 12 - x - y $ nell'espressione di $f(x,y,z) $ in modo tale da ottenere la funzione nelle due sole variabili $x$ e $y$ seguente:
$f(x, y) = xy+2y(12 - x - y)+7x(12 - x - y) = $
$ = xy + 24y - 2xy - 2y^2 + 84x - 7x^2 - 7xy = - 7x^2 - 8xy - 2y^2 + 84x + 24y $
$ (del f)/(del x) = 0 \implies - 14x - 8y + 84 = 0 \implies - 7x - 4y + 42 = 0 $
$ (del f)/(del y) = 0 \implies - 8x - 4y + 24 = 0 \implies 2x + y - 6 = 0 $
Quindi basta risolvere il sistema lineare seguente:
${(- 7x - 4y + 42 = 0),(2x + y - 6 = 0):} $
${(- 7x - 4y + 42 = 0),(y = - 2x + 6):} $
${(- 7x - 4(- 2x + 6) + 42 = 0),(y = - 2x + 6):} $
${(- 7x + 8x - 24 + 42 = 0),(y = - 2x + 6):} $
${(x = - 18),(y = 42):} $
Quindi $A(- 18, 42, - 12) $ e $w_A = f(A) = f(- 18, 42, - 12) = $
$ = -18(42)+2(42)(- 12)+7(-18)(- 12) = - 756 - 1008 + 1512 = - 252 $
In definitiva per la funzione proposta mi risulta un massimo nel punto $O(0, 0, 0) $ che vale $w_O = f(O) = 0 $ ed un minimo nel punto $A(- 18, 42, - 12) $ che vale $w_A = f(A) = f(- 18, 42, - 12) = - 252 $
@pilloeffe
Deve farlo con i moltiplicatori
Deve farlo con i moltiplicatori
@Bokonon:
Veramente nell'OP non c'è scritto quanto affermi, scrive solo che non riesce a risolvere il sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite che si ottiene usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
... E ci credo perché coi vincoli che ha scritto ($x \ge 0$, $y \ge 0$ e $z \ge 0 $) tale sistema non ha soluzione, pertanto l'ho risolto col metodo che mi sembrava più semplice ed anche più indicato nel caso specifico.
"Bokonon":
@pilloeffe
Deve farlo con i moltiplicatori
Veramente nell'OP non c'è scritto quanto affermi, scrive solo che non riesce a risolvere il sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite che si ottiene usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
"Sacio":
ho questo esercizio classico di ricerca di massimi e minimi vincolati di cui non riesco a risolvere il sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite usando il metodo di moltiplicatori di Lagrange.
... E ci credo perché coi vincoli che ha scritto ($x \ge 0$, $y \ge 0$ e $z \ge 0 $) tale sistema non ha soluzione, pertanto l'ho risolto col metodo che mi sembrava più semplice ed anche più indicato nel caso specifico.
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