Flusso di un campo vettoriale con la definizione

[satrianoriccardo]

Buongiorno a tutti, ho questo esercizio di cui non riesco a mettere giù l'impostazione per poi giungere al risultato proposto di $ 9pi^2 $
Il campo vettoriale è $ F(x,y,z)=(e^ycos(x),(1+e^y)sin(x),4xy) $ mentre la superficie cartesiana $ Sigma ={(x,y,z)in \mathbb{R}^3: z=(1+e^y)cos(x), 0<=x<=pi, 0<=y<=3} $
il testo ci dice come suggerimento di calcolare direttamente il flusso con la definizione e di non usare il teorema della divergenza
richiede il calcolo di $ |int int_(S)^()F*n*dS | $
grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Sacio,

La funzione nella superficie $\Sigma $ è data nella forma esplicita $z = f(x, y) = (1+e^y)cos x $ e quindi il versore normale è dato da $\mathbf{\hat n} = (- (del f)/(del x), - (del f)/(del y), 1) $
Si ha:

$ - (del f)/(del x) = (e^y + 1) sin x $
$ - (del f)/(del y) = - e^y cos x $

Quindi si ha:

$ |\int \int_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \text{d}S | = |\int_0^pi \int_0^3 (e^y cos(x), (1+e^y)sin(x), 4xy) \cdot ((e^y + 1) sin x, - e^y cos x, 1) \text{d}x \text{d}y | = $
$ = |\int_0^pi \int_0^3 4xy \text{d}x \text{d}y | = 4 |\int_0^pi x \text{d}x \int_0^3 y \text{d}y | = 4 \cdot \pi^2/2 \cdot 9/2 = 9 \pi^2 $

[dissonance]

"pilloeffe":il versore normale è dato da $\mathbf{\hat n} = (- (del f)/(del x), - (del f)/(del y), 1)$

Vettore. Non è detto che sia normalizzato.

Per questo esercizio non credo sia importante visto che si moltiplica per l'elemento di superficie e la lunghezza di \(\widehat{n}\) si semplifica.

[satrianoriccardo]

Grazie mille