Funzioni di due variabili applicate a problemi di massimo e minimo
Come risolvere questo problema?
Determina quali sono tre numeri reali positivi che hanno somma 120 e prodotto massimo
(suggerimento: chiama x e y i primi due numeri ed esprimi il terzo in funzione di x e y)
Determina quali sono tre numeri reali positivi che hanno somma 120 e prodotto massimo
(suggerimento: chiama x e y i primi due numeri ed esprimi il terzo in funzione di x e y)
Risposte
Ciao! Hai già un suggerimento dal testo, cosa hai provato a fare una volta applicato quel suggerimento?
Devi trovare il massimo della funzione
$f(x,y)=xy(120-x-y)$con $x>=0, y>=0, 120-x-y>=0$
$f(x,y)=xy(120-x-y)$con $x>=0, y>=0, 120-x-y>=0$
Ciao celecast,
Geometricamente, un prisma ha volume massimo quando è un cubo: quindi $x = y = z = 40 $ e $xyz = 64000 $
"celecast":
Come risolvere questo problema?
Geometricamente, un prisma ha volume massimo quando è un cubo: quindi $x = y = z = 40 $ e $xyz = 64000 $
Vale, come dovrebbe essere universalmente noto, la disuguaglianza AMGM (media aritmetica e media geometrica):
Ciò implica che il prodotto $xyz$ è sempre minore del cubo della media aritmetica di $x$, $y$ e $z$, cioè che:
$xyz <= [(x+y+z)/3]^3$
e l'uguaglianze vale sempre se $x=y=z$. Ora, se, come detto nel testo, risulta $x+y+z=120$, allora risulta:
$xyz <= 40^3 = 64000$
e l'uguaglianza vale solo se $x=y=z$, ossia se $x=y=z= 120/3 = 40$; pertanto il prodotto massimo è $64000$ ed è preso quando $x=y=z=40$.
Per ogni terna di numeri $x,y,z >= 0$ risulta:
$root(3)(xyz) <= (x+y+z)/3$
e l'uguaglianza vale se e solo se $x=y=z$.
Ciò implica che il prodotto $xyz$ è sempre minore del cubo della media aritmetica di $x$, $y$ e $z$, cioè che:
$xyz <= [(x+y+z)/3]^3$
e l'uguaglianze vale sempre se $x=y=z$. Ora, se, come detto nel testo, risulta $x+y+z=120$, allora risulta:
$xyz <= 40^3 = 64000$
e l'uguaglianza vale solo se $x=y=z$, ossia se $x=y=z= 120/3 = 40$; pertanto il prodotto massimo è $64000$ ed è preso quando $x=y=z=40$.
"@melia":
Devi trovare il massimo della funzione
$f(x,y)=xy(120-x-y)$con $x>=0, y>=0, 120-x-y>=0$
Questo l'avevo capito, ma non riesco appunto a trovare il massimo né con il metodo di sostituzione né con il metodo di Lagrange
Grazie per gli altri suggerimenti ma l'esercizio riguarda l'applicazione dei metodi "canonici" di ricerca di massimi e minimi
"celecast":
Questo l'avevo capito, ma non riesco appunto a trovare il massimo né con il metodo di sostituzione né con il metodo di Lagrange
Guarda dove si annullano le derivate prime: otterrai un sistema di due equazioni nelle due incognite $x$ e $y$ che risolto ti darà i risultati che ti ho già scritto nel mio post.
"pilloeffe":
[quote="celecast"]Questo l'avevo capito, ma non riesco appunto a trovare il massimo né con il metodo di sostituzione né con il metodo di Lagrange
Guarda dove si annullano le derivate prime: otterrai un sistema di due equazioni nelle due incognite $x$ e $y$ che risolto ti darà i risultati che ti ho già scritto nel mio post.[/quote]
Ok, ora ci sono. Mille grazie
"celecast":
Grazie per gli altri suggerimenti ma l'esercizio riguarda l'applicazione dei metodi "canonici" di ricerca di massimi e minimi
Avrei un osservazione...
Viene fatta una domanda, l interlocutore risponde correttamente e altrettanto correttamente argomenta. Direi che l obiettivo è raggiunto.
L interlocutore risponde correttamente e argomenta correttamente nel modo più semplice e veloce possibile.
L obiettivo è stato pienamente raggiunto!
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