Analisi matematica di base

Ciao a tutti, vorrei chiedervi dei metodi di risoluzione del seguente esercizio: Trovare per quali valori del parametro K l'equazione $x^3+x^2+3=Kx$ ammette soluzioni positive. Io ho provato a svolgerlo per via grafica, isolando la parabola cubica dal resto, ovvero $x^3=-x^2+Kx-3$ e imponendo appunto che ci fossero dei punti di intersezione con x positiva tra le due curve. Sono partito dalla condizione limite di tangenza tra le 2 curve, verificata per x=1 e K=5. Ma di lì, come faccio a ...

Salve a tutti, come da titolo,ho riscontrato un problema con un esercizio e non avendo trovato nessun esempio su cui basarmi pongo a voi la mia domanda. Il testo dell'esercizio è: Sia D la parte del piano dei punti $(x,y)$ tali che $x<=-y^2+2y$ e $y>=x+2$. Parametrizzare la frontiera di D in senso antiorario. Per risolverlo, anzitutto ho rappresentato graficamente le due disequazioni e trovato l'intersezione, solo che non riesco a capire bene come parametrizzarla ...

Salve, continuando a studiare un po', sono arrivato a un po' di concetti che mi hanno dato non poche difficoltà, ovvero quelli che servono per capire il Teorema di Ascoli Arzelà, che forse è meglio enunciare dato che ho visto che viene riportato in modi diversi a seconda del libro. "Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico compatto e $(Y,d)$ uno spazio metrico completo. Una famiglia $F \sub (C(X,Y), \rho) $ (con $\rho(f,g)=max{d(f(x),g(x)), x \in X} $) di funzioni continue è relativamente compatta (ovvero ...

Salve a tutti, ho svolto questo esercizio ma non mi trovo con le possibili risposte a scelta multipla che vengono proposte. La funzione in esame è: $f(x,y)= 3x^2y^2(x^2-y^2)+5$. Per determinarne i punti critici ne ho innanzitutto trovato il gradiente: $nabla(x,y)=((12x^3y^2-6xy^4),(6x^4y-12x^2y^3))$. Ponendo $nabla = 0$, ottengo che l'unico punto critico è $(0,0)$. Calcolando l'hessiana: $H_(f)(x,y)=((36x^2y^2-6y^4, 24x^3y-24xy^3),(24x^3y-24xy^3,6x^4-36x^2y^2))$ e $H_(f)(0,0)=0$. Pertanto, per stabilire la natura di $(0,0)$, ho fatto il seguente ...

Buonasera, cerco di risolvere questo esercizio in qui viene chiesto di stabilire se il seguente campo è conservativo: \(\displaystyle F: \Re^2 \rightarrow \Re^2, (x,y) \mapsto \left (-4y+e^{x^2}, siny-\frac{x}{4} \right )\) Ora, potrei usare la relazione campo \(\displaystyle C^1 \) irrotazionale su dominio semplicemente connesso \(\displaystyle \Rightarrow \) campo conservativo, ma ahimè ho verificato che \(\displaystyle F \) non è irrotazionale. Stabilire se trattasi di un campo gradiente ...

Salve a tutti, avrei una domanda riguardante questo esercizio: $f(x,y)={(0, text{se } x=1),(ye^(-((y)/(x-1))^2),text{se } x!=1):}$. Mi si chiede di verificare la continuità e derivabilità di $f$. Per quanto riguarda la continuità, banalmente ho pensato di controllare se: $lim_(x->1)f(x)=f(1)$. Per quanto riguarda la derivabilità invece, mi sono sorti dei dubbi. Come procedimento avevo pensato ad utilizzare la definizione ma non sono sicuro di applicarla bene in questo caso, perchè l'avere la funzione definita per casi solo per ...

Salve a tutti. Stavo affrontando da ieri questo limite ma non lo capisco molto bene. Il limite è: $lim_{(x,y)->(0,0)} (x^2sin(y)-ysin(x^2))/(y(x^6+y^6))$. Per impostare una strada per la soluzione, io ho pensato o a passare alle coordinate polari oppure maggiorazioni ma in entrambi i casi, ottengo uno $0$ al numeratore e mi è venuto un dubbio perchè dai post da me precedentemente postati, mi è stato detto che devo far vedere che il limite sia indipendente da $theta$. Vi posto i passaggi che ho ...

Sto leggendo Gianni Gilardi, Analisi 3, il quale a pagina 16 propone un esempio di funzionale lineare ma discontinuo. Considera lo spazio vettoriale delle funzioni continue in [0,1], [tex]V=C^0[0,1][/tex], con la norma: [tex]\left \| f \right \|_1:=\int_{0}^{1}|f(x)|\mathrm{d}x[/tex] In tale spazio definisce il funzionale lineare [tex]L[/tex] che mappa [tex]f[/tex] in [tex]f(1)[/tex], e considera come controesempio la successione [tex]f_n(x)=x^n[/tex], dicendo che la non continuità di ...

Salve a tutti, stavo provando a capire il comportamento di questa serie: $\sum_{k=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha$, al variare in $RR$ di $\alpha$. Vi propongo il mio svolgimento perchè avendo due logaritmi ho avuto dei dubbi sullo svolgimento. $\sum_{n=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha<\sum_{n=1}^oo ln(n^2)/(n)^alpha<\sum_{n=1}^oo 2n/n^alpha$ e quindi la condizione per la convergenza sarebbe: $alpha-1>1 -> alpha>2$. Il mio dubbio è sulle maggiorazioni dei logaritmi per ricondurmi ad utilizzare il criterio del confronto con la serie notevole. Grazie mille

buon ferragosto! $ int int int_(A) x^2/(x^2+z^2)dx dy dz $ con $ A={(x,y,z)∈RR^3:1<x^2+y^2+z^2<2,x^2-y^2+z^2<0,y>0} $ sto provando a calcolarlo in coordinate cilindriche, vorrei sapere dove sbaglio: $ { ( x=rsentheta ),( y=y ),( z=rcostheta ):} $ $ int int int_(A) x^2/(x^2+z^2)dx dy dz $ $ = $ $ int int int_(B) r(r^2sen^2theta)/(r^2sen^2theta+r^2cos^2theta)dr dϑ dy $ con $ B={(r,theta,y):0<=theta<2pi,r<y<√(2-r),1/(√2)<r<1} $ $ int_(0)^(2pi) (int_(1/(√2))^(1) (int_(r)^(√(2-r)) rsen^2theta dy) dx )dr)dϑ $

Ho letto ora una dimostrazione del fatto nel titolo che non avevo mai visto prima. Vorrei capire quale sia l'intuizione che c'è sotto, perché secondo me è una dimostrazione molto carina. Sia \( I \) un intervallo di reale. Sia \( f\colon I\to \mathbb R \) continua e iniettiva. Allora \( f \) è monotona. Dimostrazione. Siano \( a_0,b_0\in I \), tali che \( a_0 < b_0 \). Facciamo che \( f(b_0) - f(a_0) > 0 \) (l'altro caso è uguale). Facciamo vedere che, per ogni altra coppia di \( ...

devo calcolare il baricentro di $ E={3x^2<=y^2+z^2<=3-x^2,yz<=0,z>=|y\|} $ avente densità costante. avevo pensato di riscrivere l'insieme come $ E={4x^2<=x^2+y^2+z^2<=3,yz<=0,z>=|y\|} $ e ho notato che il baricentro sarà del tipo $ (0,y_G,z_G) $ , giusto? non so bene come procedere perchè nono so come trattare il valore assoluto.., potreste darmi un piccolo suggerimento così da continuare da solo?

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente limite: $\lim_{(x,y) \to (0,0)}(sin^2(xy)/(3x^2+2y^2))$. E lo stesso anche per $(x,y)->+infty$. Per quanto riguarda il caso $(x,y) \to (0,0)$: Vedendo una forma al numeratore del tipo $sin(xy)$, mi era venuto in mente di utilizzare il procedimento cercando delle maggiorazioni, nello specifico $|sin(xy)|<=|xy|$ arrivando, facendo qualche passaggio a: $..<=(xy)^2/(x^2+y^2)$. Per continuare con le maggiorazioni, mi è venuta in mente quella per cui $x^2<=x^2+y^2 rArr x^2/(x^2+y^2) <=1$ e quindi ...

Salve, oggi, dopo un po', volevo ritornare su una vecchia dimostrazione in cui non riuscii perchè era ancora troppo prematuro. Ora ero curioso di vedere se effettivamente ci fossi riuscito, o se ancora ci sono degli errori. La dimostrazione è che $l^(oo) (RR)$ dotato della metrica $d({x_n}, {y_n})=s up_(n \in NN) |x_n-y_n|$ è uno spazio metrico completo. La dimostrazione l'ho divisa in 2 parti: (1) $(l^(oo) (RR), d)$ è uno spazio metrico. Dobbiamo dimostrare che $d$ è una distanza. Le proprietà di ...

Salve a tutti, ho un dubbio su cosa concludere con questo limite: $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} ((sin(xy)-ysin(x))/(x^2+y^2))$. Per risolverlo, ho riscritto il limite come somma di due limiti e cercando delle maggiorazioni, ottenuto in entrambi i casi: $abs((xy)/(x^2+y^2))<= 1/2$. Dato che ottengo una cosa che non dipende ne da $x$ o da $y$, concludo che esiste? Perchè facendo il limite per $(x,y) to (0,0)$ di $1/2$ ovviamente ottengo $1/2$. Grazie mille per l'aiuto.

Salve a tutti, stavo affrontando questo limite e dopo averlo risolto, controllando su wolfram mi viene un risultato differente e vorrei capire cosa mi sfugge nel ragionamento: $lim_((x,y)->(0,0))((x^4+y^4)/(x^2+y^3))$, definita in ${(x,y) in RR^2: x^2+y^3!=0}$. Facendo un'analisi iniziale, cioè controllando $(x,0)$ e $(0,y)$, il limite se esiste dovrebbe venire $0$. Applicando il metodo delle coordinate polari: $lim_(rho->0)((rho^4cos(theta)^4-rho^4sin(theta)^4)/(rho^2cos(theta)^2-rho^3sin(theta)^3))$ e svolgendo i passaggi otterrei: $lim_(rho->0)((rho^2cos(theta)^4sin(theta)^4)/(cos(theta)^2-rhosin(theta)^3))$.Posso ...

online ho trovato un esercizio in cui si chiede di verificare che $ sin2x $ sia soluzione di $ y''''+4y'''+8y''+16y'+16y=0 $ . io avrei svolto l'esercizio facendo una verifica diretta, cioè sostituendo nell'equazione differenziale le derivate di $ sin2x $ . invece nello svolgimento dell'esercizio leggo che, invece di fare una verifica diretta, si può calcolare il polinomio caratteristico $ p(λ)=λ^4+4λ^3+8λ^2+16λ+16 $ e concludere che $ sin2x $ è una soluzione perchè $ 2i $ e ...

salve ragazzi, se possibile, vorrei essere un po' guidato nella risoluzione del seguente problema di cauchy $ { ( y''+(y')^3 =0 ),( y(0)=y_0 ),( y'(0)=-v_0 ):} $ ponendo $ x=y' $ lo riscrivo come $ { ( x'+x^3=0 ),( x(0)=-v_0 ):} $ che è un'equazione a variabili separabili. trovo quindi $ -1/(2x^2)=-t+c $ che posso riscrivere come $ 1/(2x^2)=t+c $ ora dovrei trovare la $ c $ dalla condizione iniziale e mi risulta $ c=1/(2(v_0)^2) $ quindi da $ 1/(2x^2)=t+1/(2v_0^2 $ ricavo la x: $ x=±√(1/(2t)+v_0^2) $ scegliendo come soluzione ...

l'equazione differenziale è $ y''-4y'+5y=e^(2x)(1+cosx)+5x^2 $ ho trovato la soluzione generale dell'omogenea: $ y(x)=c_1e^(2x)sinx+c_2e^(2x)cosx $ e sto ora trovando la soluzione particolare col metodo della somiglianza: per $ e^(2x) $ ho trovato $ e^(2x) $ ; per $ e^(2x)cosx $ ho trovato $ 1/2xe^(2x)sinx $ e fin qui è tutto giusto. per $ 5x^2 $ cerco una soluzione nella forma $ y=Ax^2+Bx+c $ le cui derivate sono $ y'=2Ax+B $ e $ y''=2A $ e sostituendole nell'equazione ...

Non mi pare di aver mai visto un teorema riguardo ciò, quindi mi chiedo: se una funzione è derivabile è continua, ma la derivata stessa? E' sicuramente continua anch'essa? Ho provato a pensare a controesempi ma non mi viene in mente nessun punto in cui la funzione sia derivabile, ma la derivata non è continua