Analisi matematica di base
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Salve a tutti.
Stavo affrontando da ieri questo limite ma non lo capisco molto bene.
Il limite è:
$lim_{(x,y)->(0,0)} (x^2sin(y)-ysin(x^2))/(y(x^6+y^6))$.
Per impostare una strada per la soluzione, io ho pensato o a passare alle coordinate polari oppure maggiorazioni ma in entrambi i casi, ottengo uno $0$ al numeratore e mi è venuto un dubbio perchè dai post da me precedentemente postati, mi è stato detto che devo far vedere che il limite sia indipendente da $theta$.
Vi posto i passaggi che ho ...
Sto leggendo Gianni Gilardi, Analisi 3, il quale a pagina 16 propone un esempio di funzionale lineare ma discontinuo.
Considera lo spazio vettoriale delle funzioni continue in [0,1], [tex]V=C^0[0,1][/tex], con la norma:
[tex]\left \| f \right \|_1:=\int_{0}^{1}|f(x)|\mathrm{d}x[/tex]
In tale spazio definisce il funzionale lineare [tex]L[/tex] che mappa [tex]f[/tex] in [tex]f(1)[/tex], e considera come controesempio la successione [tex]f_n(x)=x^n[/tex], dicendo che la non continuità di ...
Salve a tutti, stavo provando a capire il comportamento di questa serie:
$\sum_{k=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha$, al variare in $RR$ di $\alpha$.
Vi propongo il mio svolgimento perchè avendo due logaritmi ho avuto dei dubbi sullo svolgimento.
$\sum_{n=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha<\sum_{n=1}^oo ln(n^2)/(n)^alpha<\sum_{n=1}^oo 2n/n^alpha$ e quindi la condizione per la convergenza sarebbe: $alpha-1>1 -> alpha>2$.
Il mio dubbio è sulle maggiorazioni dei logaritmi per ricondurmi ad utilizzare il criterio del confronto con la serie notevole.
Grazie mille
buon ferragosto!
$ int int int_(A) x^2/(x^2+z^2)dx dy dz $ con $ A={(x,y,z)∈RR^3:1<x^2+y^2+z^2<2,x^2-y^2+z^2<0,y>0} $
sto provando a calcolarlo in coordinate cilindriche, vorrei sapere dove sbaglio:
$ { ( x=rsentheta ),( y=y ),( z=rcostheta ):} $
$ int int int_(A) x^2/(x^2+z^2)dx dy dz $ $ = $ $ int int int_(B) r(r^2sen^2theta)/(r^2sen^2theta+r^2cos^2theta)dr dϑ dy $
con $ B={(r,theta,y):0<=theta<2pi,r<y<√(2-r),1/(√2)<r<1} $
$ int_(0)^(2pi) (int_(1/(√2))^(1) (int_(r)^(√(2-r)) rsen^2theta dy) dx )dr)dϑ $
Ho letto ora una dimostrazione del fatto nel titolo che non avevo mai visto prima. Vorrei capire quale sia l'intuizione che c'è sotto, perché secondo me è una dimostrazione molto carina.
Sia \( I \) un intervallo di reale. Sia \( f\colon I\to \mathbb R \) continua e iniettiva. Allora \( f \) è monotona.
Dimostrazione. Siano \( a_0,b_0\in I \), tali che \( a_0 < b_0 \). Facciamo che \( f(b_0) - f(a_0) > 0 \) (l'altro caso è uguale). Facciamo vedere che, per ogni altra coppia di \( ...
devo calcolare il baricentro di $ E={3x^2<=y^2+z^2<=3-x^2,yz<=0,z>=|y\|} $ avente densità costante.
avevo pensato di riscrivere l'insieme come $ E={4x^2<=x^2+y^2+z^2<=3,yz<=0,z>=|y\|} $ e ho notato che il baricentro sarà del tipo $ (0,y_G,z_G) $ , giusto? non so bene come procedere perchè nono so come trattare il valore assoluto.., potreste darmi un piccolo suggerimento così da continuare da solo?
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente limite:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(sin^2(xy)/(3x^2+2y^2))$.
E lo stesso anche per $(x,y)->+infty$.
Per quanto riguarda il caso $(x,y) \to (0,0)$:
Vedendo una forma al numeratore del tipo $sin(xy)$, mi era venuto in mente di utilizzare il procedimento cercando delle maggiorazioni, nello specifico $|sin(xy)|<=|xy|$ arrivando, facendo qualche passaggio a:
$..<=(xy)^2/(x^2+y^2)$.
Per continuare con le maggiorazioni, mi è venuta in mente quella per cui $x^2<=x^2+y^2 rArr x^2/(x^2+y^2) <=1$ e quindi ...
Salve, oggi, dopo un po', volevo ritornare su una vecchia dimostrazione in cui non riuscii perchè era ancora troppo prematuro. Ora ero curioso di vedere se effettivamente ci fossi riuscito, o se ancora ci sono degli errori. La dimostrazione è che $l^(oo) (RR)$ dotato della metrica $d({x_n}, {y_n})=s up_(n \in NN) |x_n-y_n|$ è uno spazio metrico completo. La dimostrazione l'ho divisa in 2 parti:
(1) $(l^(oo) (RR), d)$ è uno spazio metrico.
Dobbiamo dimostrare che $d$ è una distanza. Le proprietà di ...
Salve a tutti, ho un dubbio su cosa concludere con questo limite:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)} ((sin(xy)-ysin(x))/(x^2+y^2))$.
Per risolverlo, ho riscritto il limite come somma di due limiti e cercando delle maggiorazioni, ottenuto in entrambi i casi:
$abs((xy)/(x^2+y^2))<= 1/2$.
Dato che ottengo una cosa che non dipende ne da $x$ o da $y$, concludo che esiste? Perchè facendo il limite per $(x,y) to (0,0)$ di $1/2$ ovviamente ottengo $1/2$.
Grazie mille per l'aiuto.
Salve a tutti, stavo affrontando questo limite e dopo averlo risolto, controllando su wolfram mi viene un risultato differente e vorrei capire cosa mi sfugge nel ragionamento:
$lim_((x,y)->(0,0))((x^4+y^4)/(x^2+y^3))$, definita in ${(x,y) in RR^2: x^2+y^3!=0}$.
Facendo un'analisi iniziale, cioè controllando $(x,0)$ e $(0,y)$, il limite se esiste dovrebbe venire $0$.
Applicando il metodo delle coordinate polari:
$lim_(rho->0)((rho^4cos(theta)^4-rho^4sin(theta)^4)/(rho^2cos(theta)^2-rho^3sin(theta)^3))$ e svolgendo i passaggi otterrei:
$lim_(rho->0)((rho^2cos(theta)^4sin(theta)^4)/(cos(theta)^2-rhosin(theta)^3))$.Posso ...
online ho trovato un esercizio in cui si chiede di verificare che $ sin2x $ sia soluzione di $ y''''+4y'''+8y''+16y'+16y=0 $ .
io avrei svolto l'esercizio facendo una verifica diretta, cioè sostituendo nell'equazione differenziale le derivate di $ sin2x $ . invece nello svolgimento dell'esercizio leggo che, invece di fare una verifica diretta, si può calcolare il polinomio caratteristico $ p(λ)=λ^4+4λ^3+8λ^2+16λ+16 $ e concludere che $ sin2x $ è una soluzione perchè $ 2i $ e ...
salve ragazzi, se possibile, vorrei essere un po' guidato nella risoluzione del seguente problema di cauchy $ { ( y''+(y')^3 =0 ),( y(0)=y_0 ),( y'(0)=-v_0 ):} $
ponendo $ x=y' $ lo riscrivo come $ { ( x'+x^3=0 ),( x(0)=-v_0 ):} $ che è un'equazione a variabili separabili. trovo quindi $ -1/(2x^2)=-t+c $ che posso riscrivere come $ 1/(2x^2)=t+c $
ora dovrei trovare la $ c $ dalla condizione iniziale e mi risulta $ c=1/(2(v_0)^2) $
quindi
da $ 1/(2x^2)=t+1/(2v_0^2 $ ricavo la x: $ x=±√(1/(2t)+v_0^2) $ scegliendo come soluzione ...
l'equazione differenziale è $ y''-4y'+5y=e^(2x)(1+cosx)+5x^2 $
ho trovato la soluzione generale dell'omogenea: $ y(x)=c_1e^(2x)sinx+c_2e^(2x)cosx $ e sto ora trovando la soluzione particolare col metodo della somiglianza:
per $ e^(2x) $ ho trovato $ e^(2x) $ ; per $ e^(2x)cosx $ ho trovato $ 1/2xe^(2x)sinx $ e fin qui è tutto giusto.
per $ 5x^2 $ cerco una soluzione nella forma $ y=Ax^2+Bx+c $ le cui derivate sono $ y'=2Ax+B $ e $ y''=2A $ e sostituendole nell'equazione ...
Non mi pare di aver mai visto un teorema riguardo ciò, quindi mi chiedo:
se una funzione è derivabile è continua, ma la derivata stessa? E' sicuramente continua anch'essa?
Ho provato a pensare a controesempi ma non mi viene in mente nessun punto in cui la funzione sia derivabile, ma la derivata non è continua
Salve a tutti, stavo provando a fare l'esercizio:
$f_n(x)= n*e^(-nx^2)$
e mi sono sorti dei dubbi per quanto riguarda sia la convergenza puntuale che uniforme.
Io sò che per vedere se converge puntualmente, devo vedere l'insieme di convergenza di $f_(oo)(x)$ e controllando come viene svolto, vengono analizzati separatamente i casi $x=0$ e $x in RR \\ {0}$. Perchè viene fatta questa distinzione? Perchè la $x$ per la puntuale viene fissata, e non mi sembra dia ...
devo studiare massimi e minimi di $ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+x+y+z $ su $ E={x^2+y^2<=4,|x-y|<=2<=z<=3} $ .
cerco dapprima i punti critici interni ad E vedendo quando si annulla il gradiente:
$ (2x+1,2y+1,2z+1)=(0,0,0)<=>(x,y,z)=(-1/2,-1/2,-1/2) $ che tuttavia è un punto che non appartiene ad E perchè trovo un assurdo se sostituisco $ (-1/2,-1/2,-1/2) $ a $ 2<=z $ trovando $ 2<=-1/2 $
è corretto?
l'esercizio mi chiede di trovare massimi e minimi di $ f(x,y)=x^2+y^2 $ su $ M={(x,y)∈RR^2:|x|+|y|<=1} $ .
dallo studio del gradiente della funzione ho trovato (0,0) come punto critico che concludo essere un punto di minimo assoluto essendo la funzione $ >=0 $ .
passo allo studio della frontiera: noto la simmetria di f e di M quindi studio solo l'insieme $ E={(x,y)∈RR^2:x+y=1,0<x<1} $ quindi la funzione $ g=f(x,1-x) $ che ha punto stazionario $ 1/2 $ che è un candidato insieme agli spigoli ...
$ f(x,y) $ vale $ (x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx $ quando $ (x,y)≠(0,0) $ e $ 0 $ quando $ (x,y)=(0,0) $ .
inizio studiando la continuità in $ (0,0) $ : il primo controllo che ho fatto è stato $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,mx)=lim_((x,y) -> (0,0))(x^2-(mx)^2)/(|x|+|mx|)arctanx= $ e poichè $ x^2>=0=>x^2=|x^2|=|x|^2 $ allora $ lim_((x,y) -> (0,0))(|x|^2(1-m^2))/(|x|(1+|m|))arctanx=0 $ quindi procedo con una stima dall'alto sfruttando che $ x^2-y^2=(|x|+|y|)(|x|-|y|) $ allora $ |f(x,y)|=|(x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx|=(|x|-|y|)arctanx <= (|x|-|y|)pi/2 ->0 $ quando $ (x,y)->0 $
concludo quindi che f è continua in (0,0). è anche continua in R^2\(0,0) perchè rapporto ...
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e mi sono venuti un pò di dubbi:
$\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) $.
L'esercizio dà come "dato" che $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n) = S$ e chiede di determinare a quanto converge la serie di partenza.
E' giusto dire che la serie di partenza converge a 0? Perchè io posso separare la serie come $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) = \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_n - \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_(n+1) $ e dire che quella di $a_n$ converge ad S ma anche quella di $a_(n+1)$ mi è venuto in mente.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
ho trovato su internet il seguente esercizio che spero mi possiate aiutare a capire: una funzione $ f(x,y) $ vale $ (sin|xy|)/(x^2+y^2) $ se $ (x,y)≠(0,0) $ e $ 0 $ se $ (x,y)=(0,0) $
si afferma che in $ (0,0) $ la funzione non è continua studiando la continuità alla restrizione $ y=mx $ . ma non capisco come facciamo a dirlo perchè a me risulta che $ lim_(x -> 0) (sin|x(mx)|)/(x^2+(mx)^2)=0 $ che non dipende da m
e afferma anche che in (0,0) la funzione non è continua, è ...
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