Analisi matematica di base

Salve, vorrei dei chiarimenti in merito al fatto che secondo il teorema del gradiente nullo , se ho una funzione in due variabili definita in un aperto connesso e il suo gradiente risulta nullo in tutti i punti dell'insieme allora la funzione è costante. Passiamo adesso per un secondo ad un argomento sempre di analisi 2: massimi e minimi vincolati. Solitamente ho una funzione di due variabili ristretta ad un vincolo che consiste nell'insieme di tutti i punti che soddisfano un equazione,per ...

Salve, vi pongo un problema che non riesco a risolvere: $ sum_(n >= 2) n*(1/2)^(n-1) $ =.......... Si potrebbe scrivere che: $ sum_(n >= 2) n*(1/2)^(n-1) $= $ sum_(n >= 2) n* sum_(n >= 2)(1/2)^(n-1) $ ?? Vi ringrazio in anticipo!

Stavo cercando di risolvere il seguente limite in due variabili: $lim_((x,y)->(-1,0))sin (x+y+1)/(1+3log (x+y+2)-e^(x+y+1)) $, ed ho osservato che lo si può scrivere in un limite equivalente in una variabile ponendo $(x+y+1)=t $ ed a questo punto lo riscrivo come $lim_(t->0) sint/(1+3log (t+1)-e^t) $, ed usando gli asintotici si ha $lim_(t->0 )t/(1+3t-1-t) $ $=lim_(t->0)t/(2t)=$ $1/2$, secondo voi è corretto il procedimento, oppure era meglio effettuare la sostituzione $z=(x+1) $, e riscrivere il limite in due variabili $lim_((z,y)->(0,0))sin(y+z)/(1+3log (z+y+1)-e^(z+y) =1/2$?

Buonasera a tutti. Scusatemi, in qualche esercizio sugli integrali curvilinei ho dedotto che considerare l'intervallo [0, 2$\pi$] è equivalente a considerare [-$\pi$, $\pi$]. Esiste un modo, come dire, rigoroso per provare questa "equivalenza" cioè che considerare [0, 2$\pi$] è la stessa cosa di considerare [-$\pi$, $\pi$] ? Grazie milleeeeeee per la disponibilità

ciao a tutti ragazzi posto due esercizi d esame di analisi II 1) $y^{\prime}=e^(x-y)$ 2) $y^{\prime}=y*(y+1)$ non riesco proprio a capire...ho fatto vari tentativi ma evito di scrivere troppe cazz.....ovviamente non pretendo lo svolgimento per intero ma delle indicazioni su come partire/procedere, grazie.

Ciao a tutti ho questa funzione: $ f(x) = (sen1)/(ln3) + ((x+1)*((ln3)*(cos1)-sen1))/(ln3)^2 $ Devo calcolarne l'integrale definito con 2 "sopra" e 1 "sotto". Ecco il mio procedimento: "porto fuori" $ (sen1)/(ln3) $ dato che è un valore numerico e non ho la $ x $ e quindi ho... $ (sen1)/(ln3) + ∫ (x-1)/(ln3)^2 dx * ∫ ((ln3) * (cos1))/(ln3)^2 dx - ∫ (sen1)/(ln3)^2 dx $ $ (sen1)/(ln3) + (cos1)/(ln3) - (sen1)/(ln3)^2 + 1/(ln3)^2 * ∫(x-1)dx $ $ (sen1)/(ln3) + (cos1)/(ln3) - (sen1)/(ln3)^2 + 1/(ln3)^2 * [(2-1) - (1-1)] $ quindi soluzione: $ (sen1)/(ln3) + (cos1)/(ln3) - (sen1)/(ln3)^2 + 1/(ln3)^2 $ ma il libro da: $ (sen1)/(ln3) + (cos1)/(2ln3) - (sen1)/(2ln3)^2 + 1/(ln3)^2 $ dove sbaglio? Grazie

ciao a tutti ho svolto il seguente esercizio $y^{\prime} (senx)+y(cosx)=e^x$ prima ho svolto l eq omog a variab separat risultato $y=+-k*1/x$ dopo ho svolto la parte dopo l uguale risultato $(e^x/2)*(senx-cosx)+c$ è giusto il procedimento? il risultato? grazie.

Salve a tutti, ho la seguente serie: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n(e^\frac{1}{n}-1)x^n \) Non so bene come poterla studiare, pensavo di studiare la serie dei valori assoluti. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^n(e^\frac{1}{n}-1)x^n|= \) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^n|*(e^\frac{1}{n}-1)*|x^n|= \) (*) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(e^\frac{1}{n}-1)*|x^n|= \) (*) (*)Non so se questo passaggio sia molto corretto. Applico il criterio del rapporto ...

É una domanda abbastanza banale, ma necessito di avere risposta Sono uno studente del primo anno di matematica e mi chiedevo: per comprendere a fondo determinate definizioni, la loro introduzione e anche la profondità di determinate dimostrazioni, bisogna avere un quadro quanto più ampio della matematica? Mi spiego meglio, ma non vale solo per l'analisi: studiando la numerabilità, le forme canoniche di Jordan, e anche qualcosa di algebra stessa, mi rendo conto che molti teoremi li so ...

Salve a tutti, ho il seguente limite: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{[e^{(1+ \frac{1}{n})} -e]^2}{\frac{1}{n}sin[\pi(1+\frac{1}{n})]}= \) \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{[e(e^{\frac{1}{n}} -1)]^2}{\frac{1}{n}sin(\pi+\frac{\pi}{n})}= \) Ricordando la formula degli archi associati del seno(che io non ricordavo). \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{[e(e^{\frac{1}{n}} -1)]^2}{\frac{1}{n}(-sin(\frac{\pi}{n}))}= \) \(\displaystyle ...

Salve a tutti, ho la seguente serie: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty } \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^{2}}x^{n} \) Studio la serie dei valori assoluti. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty } \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^{2}}|x|^{n} \) Applico il criterio del rapporto su: \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty } \frac{(n+1-\sqrt{n+2})|x|^{n+1}}{(n+1)^{2}}\frac{n^{2}}{|x|^{n}(n-\sqrt{n+1})}= \) \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty } ...

Salve a tutti, studiare, al variare di \(\displaystyle x \geq 0 \), la serie numerica: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(-1)^nlog n}{\pi^n+3n} \). Non so bene come poterla studiare, qualche suggerimento?

Stavo calcolando il limite: $lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 + y^2)/(x^2 - y^2)$ Passando in coordinate polari: $ x = rho cos theta $ $ y = rho sin theta $ Il limite si riconduce a: $ lim_(rho -> 0^+) 1/ (cos theta - sin theta) $ Siccome il limite dipende da $theta$ possiamo concludere che non esiste il limite per la funzione in $(0,0)$ Poi mi sono accorto che ciò si poteva osservare semplicemente calcolando i limiti lungo gli assi: $ lim_(x -> 0) f(x,0) = 1$ $ lim_(y -> 0) f(0,y) = -1$ Corretto?

Studiando la discontinuità di questa funzione: $f(x)={(sin(x)2^(1/x) if x!=0), (0 if x=0):}$ E' corretto il mio ragionamento? studio il limite destro e sinistro in zero... Per questo limite destro non viene in mente niente... $\lim_{x \to 0_+}sin(x)2^(1/x)$ $=?$ mentre per questo $\lim_{x \to 0_-}sin(x)2^(1/x)$ è corretto dire: $\lim_{x \to 0_+}sin(x)2^(1/x)$=$sin(0)2^(1/0_-)$=$0*2^(-\infty)$=$0*(1/2^\infty)$=0 Mi dite per cortesia se sbaglio procedimento e calcolo del limite?

Salve...!! Il mio testo dice che la seguente espressione è nulla ,ma non capisco il perche; Partiamo però dal principio: Sia: $ epsi=e^(i(2pi)/5 ) = cos ((2pi)/5) + isin ((2pi)/5) $ L'espressione: $ epsi+epsi^2+epsi^3+epsi^4+epsi^5 =sum_(n=1)^(5)e^((2pii n)/5 $ è nulla per le proprietà trigonometriche: $ sum_(n=1)^(l)cos((2pi n)/l) $ $ sum_(n=1)^(l)sin((2pi n)/l) $ Non capisco perchè i termini di questa espressione dovrebbero annullarsi. Cos'è che annulla i vari cos(2pi n/5) e i relativi seni?? Qualcuno può aiutarmi? Grazie

Buongiorno. Ho il seguente esercizio: -Si consideri lo spazio delle successioni limitate in $E:={x={x_n}_(n=0)^(oo); Sup_k|x_k|<oo}$; a) Si dimostri che E è uno spazio metrico con la distanza : $d:E x E->RR, d(x,y)=Sup_k|x_k-y_k|<oo,(x,y)inExE$ dimostrazione: per dimostrare che l'insieme dato risulta completo si deve verificare che rispetti la definizione di completezza per uno spazio (metrico). Quindi sarebbe dapprima conveniente mostrare che la definizione della metrica indotta su $E$ sia ben posta e cioè che rispetti i tre assiomi ...

Ciao a tutti, ho qualche problema nel calcolo di questo integrale doppio. $ int int y(x^2 + y^2 ) dx dy $ Il dominio è: $ dom(f(x,y)sub R^2 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , x>=y>=-x root()(3) , y>=0 )$ L'integrale va calcolato in coordinate polari e impostato in coordinate cartesiane. Ciò che non riesco a fare è tracciare il dominio, ovvero non riesco a determinare quale parte di corona circolare va considerata. Ho capito che devo considerare la parte compresa tra le due circonferenze, ma per il resto vuoto totale... Grazie mille!

Sto iniziando a cimentarmi con i limiti a due variabili, e cercavo di risolvere il seguente: $lim_((x,y)->(0,0))(tan(x^2)(e^y-1))/(sin (x^4)+log (y^2+1)) $, usando gli asintotici $tanx^2~~x^2$, e $(e^y-1)~~y $, ed inoltre $log (y^2+1)~~y^2$, sostituendo arrivo alla forma equivalente $lim_((x,y)->(0,0))(x^2y)/(x^4+y^2) $, devo dimostrare che il limite esiste, nel caso specifico, lo si può fare sfruttando delle maggiorazioni, o conviene fare la trasformazione in coordinate polari? Qualche suggerimento; Grazie!

Salve a tutti avrei un dubbio su un limite. $lim_{(x,y)to(0.0)} (sin(xy))/sqrt(x^2+y^2)$ Questo l'ho risolto con la seguente serie di disuguaglianze: $0<=|sin(xy)|/sqrt(x^2+y^2)<=|xy|/sqrt(x^2+y^2)=|x|/sqrt(x^2+y^2)*|y|<=|y|$ Passando al limite essendo $|y|$ convergente a $0$ quindi per il teorema del confronto convergerà anche la funzione iniziale. Studiando quest altro limite: $lim_{(x,y)to(0.0)} (sin(xy))/(x^2+y^2)$ avevo trovato che convergeva a zero allo stesso modo però invece il limite non esiste.. qualcuno sa spiegarmi il motivo?

Salve a tutti, sono alle prese con gli studi qualitativi dei problemi di Cauchy, e mi è sorto un dubbio che anela la mia mente da analisi I: nell'esercizio sono riuscito a dimostrare che la funzione è crescente strettamente e convessa. Per la monotonia esiste il limite a $\+infty$. e ora ho i seguenti casi: o tale limite è una costante, ossia ho un asintoto orizzontale, oppure è $\+infty$. Facendo dei disegni mi è impossibile disegnare una funzione convessa crescente e con ...