Analisi matematica di base

Gentilissimi, sto studiando la trasformata di Laplace e malgrado gli sforzi non riesco a comprendere alcuni punti. Qualche spunto mi sarebbe preziosissimo. Vi ringrazio in anticipo per la vostra sempre squisita cortesia. 1) parlando delle funzioni di ordine esponenziale: consideriamo la funzione f tale che: $ abs(f(t))<=M\cdote^(\alpha t) $ sappiamo che $ M\cdote^(\alpha t) $ è certamente L-trasformabile e ha ascissa di convergenza alfa (anche su come dimostrare questo avrei qualche perplessità in ...

Salve a tutti, sono uno studente al quinto anno delle superiori e, per mia cultura personale, vorrei capire com'è possibile ricavare il valore della x dalla seguente equazione: \[\frac{C!}{(C-x)!C^x}=\frac{1}{2} \] I valori di \(C \) sono noti e vanno da \(2^{16}\) fino a \(2^{512}\). Sono riuscito a trovare su Internet i seguenti risultati (approssimati): \(C=2^{16}\) \(x=300\) \(C=2^{32}\) \(x=77000\) \(C=2^{64}\) \(x=5,1*10^9\) \(C=2^{128}\) \(x=2,2*10^{19}\) \(C=2^{256}\) ...

Gentili utenti di questo forum, volevo chiedervi un'informazione riguardo un integrale doppio che mi è stato proposto. eccolo : $\int_{0}^{r} \int_{0}^{2pi} cos (x) * cos (y) dx dy $ ovviamente x=r cos $\vartheta$ y= r sen $\vartheta$ dx dy = r dr d$\vartheta$ ho provato a risolverlo , ma a mio avviso è scritto male in partenza, poichè gli estremi di integrazione sono in coordinate polari e l'integrale è scritto in modo cartesiano??? ovviamente sono abituato a svolgere ...

Buongiorno a tutti. Mi vergogno un pochino ma mi trovo in difficoltà nel calcolare una disequazione: $e^y \> -1/(3-y)$ Non riesco a ragionarci, o meglio non so se i ragionamenti hanno senso.. Anche facendo il logaritmo arrivo ad avere: $y \> -\log (1/(3-y))$ (Mi viene anche il dubbio che il $\-$ a destra non si possa tenere fuori e di conseguenza non sono sicuro che abbia senso il passaggio.) Sono molto arrugginito su queste cose quindi.. Vi chiederei se potete ragionarci con i ...

Salve a tutti, potreste aiutarmi, spiegando anche i vari passaggi, a risolvere questo limite ?? Vi allego la foto cosi non mi sbaglio. Grazie in anticipo.Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Ho una successione di funzioni $f_n=g_n\circ f$ crescente e devo verificare questi passaggi: $\text{sup}_n (g_n\circ f)= \lim\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\lim\text{sup}_n g_n)\circ f$ La prima uguaglianza direi che vale perché la successione è crescente, ma la seconda? Il fatto che io non possa separare subito il $\text{sup}$, cioè fare $\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\text{sup}_n g_n)\circ f$ credo che dipenda in qualche modo dal fatto che $g_n$ non è in generale monotona, giusto?

Ciao a tutti! Sto provando da un po' a svolgere il seguente limite ma non riesco ad arrivare a nessuna conclusione che sia giusta. Spero che qualcuno sappia aiutarmi! Grazie a tutti $ lim_(n -> oo) sen(pien!) $

Mi sono bloccato su una dimostrazione del teorema di differenziabilità delle funzioni composte: siano: $f : RR^n supe Omega rarr RR^m $ , differenziabile in $x_0 in Omega$ $g: RR^m supe A : rarr RR^p$, differenziabile in $y_0 = f(x_0) in A$ Consideriamo: $g(f(x_0+h)) = g(f(x_0) + df_(x_0)(h) + o(||h||)) = $ $= g(f(x_0)) + dg_f(x_0) (df_(x_0) + o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)=$ $ = g(f(x)) + (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) + dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $ in sostanza, aldilà della pesantezza della notazione, si ottiene: $g(f(x_0+h)) - g(f(x_0)) - (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) = dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $ Provando che la parte a destra dell'identità tende a zero per $h rarr 0$si otterrebbe che la funzione composta è ...

Esercizio: Sia $X\subseteq \RR$ non vuoto. Provare che $X$ è limitato se e solo se, per ogni $\varepsilon >0$, si può ricoprire con un numero finito di intervalli aperti di semiampiezza $\varepsilon$, i.e. solo se: \[ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\text{ ed } \exists x_1,\ldots , x_N\in X:\quad X\subseteq \bigcup_{n=1}^N ]x_n-\varepsilon , x_n+\varepsilon[\; . \]

Buongiorno a tutti. Come da titolo mi trovo in difficoltà nell'individuare gli estremi di integrazione di integrali doppi che riguardano circonferenze, quindi in coordinate polari. Ho questo problema: Il dominio è D={ y$>=$0 , x^2+y^2-x$<=$0 } e la funzione è: $\int int \sqrt(1-(x^2+y^2)) dxdy$ Disegnando il dominio di integrazione dovrebbe risultare una semicirconferenza nel primo e secondo quadrante, con centro in x=1/2, y=0 e raggio=1/2. Ora, ho difficoltà a "calcolare" gli stremi ...

Un esercizio di Analisi I, tanto per restare in allenamento... *** Esercizio: 1. Mostrare che la serie: \[ \tag{S} \sum \log \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n}\right) \] è a segni alterni e studiarne la convergenza col Criterio di Leibniz. 2. La serie (S) è assolutamente convergente? 3. Calcolare esplicitamente le somme parziali di (S). 4. Confrontare le somme parziali con il prodotto di Wallis: \[ \frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4 \dots 2n\cdot 2n \cdots}{1\cdot 3\cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)\cdot ...

Salve a tutti, devo determinare il carattere della serie, al variare del parametro negativo \(\displaystyle \alpha \). Serie: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha) \) Ho diviso la serie in due parti: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) \) Serie 1: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}} \) Una serie armonica, conoscendo il carattere della serie ...

ragazzi quale criterio dovrei applicare per studiare la convergenza di questa serie? $(x − 3)^n/(n^2)$ con $n$ da 1 a $+∞$ ho provato con il rapporto ma poi ottengo $(x-3)n^2/(n+1)^2$ e non so come continuare

Ciao a tutti. Mi trovo in difficoltà nell'individuare la seguente tipologia di equazione differenziale: $2t^2y'' - 3ty' + 3y = t^2 + 4$ E' un'equazione non omogenea, di secondo grado a "coefficienti non costanti".. Ho un problema di base e cioè proprio quel non costanti. Erroneamente affrontavo tale problema come se le $t$ non ci fossero per ricavare il polinomio caratteristico, ma ho capito in seguito che sbagliavo. Per quanto riguarda le analoghe equazioni a coefficienti costanti non ho ...

Io ho la serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$ Se considero $a_n$ l'espressione: $(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$ faccio il $\lim_{n \to \infty}a_n$, ottengo zero, di conseguenza vale la condizione necessaria per convergenza Inoltre si nota abbastanza facilmente che la serie è a termini positivi.. Ricostruisco la parte principale (per il confronto asintotico) Infatti applico il limite notevole $sin(x) = x + o(x)$ per $x$ tendente a zero. Di conseguenza ho $1/(nsqrt(n)) + o(1/(nsqrt(n)))$ Ora che ho trovato ...

Salve a tutti, ho dubbi sui seguenti limiti: \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \) Abbiamo una forma indeterminata \(\displaystyle \frac{\infty }{\infty } \). Non so bene come sciogliere questa forma indeterminata. Consigli?

Salve a tutti, ho il seguente limite: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x} \) Ho risolto in questa maniera: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \) Th. di de l'Hôpital \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{cos x-\frac{1}{1+x^2}}{1-cos x}= \) Th. di de l'Hôpital \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-sin x+\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= \) \(\displaystyle \lim_{x \to 0}-\frac{sin x}{sin x}+\frac{\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= ...

Buongiorno, affrontando lo studio dei sistemi dinamici mi sono imbattuto nelle equazioni autonome, cioè in quelle che non dipendono dal tempo del tipo $ dot(x)=X(x) $ Ora volevo disegnare il campo vettoriale $X(x_1,x_2)=(x_2,-x_1)$. Nelle dispense c'è scritto che si verifica subito che $ t \mapsto r_0((cos(-t+c)),(sin(-t+c))) $ , con $r_o \geq 0$ e $c in RR$ costanti arbitrarie sono linee integrali (ossia soluzioni massimali). Il mio dubbio è come ottenere quelle due soluzioni in quella forma (con ...

Salve a tutti, ho il seguente limite: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(1-cos^3x)^2}{x*sinx*arcsinx}= \) \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cos^3x-1))^2}{x\frac{sinx}{x}x\frac{arcsinx}{x}x}= \) \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \) \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1)}{x^2}x^2)^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \) \(\displaystyle \lim_{x \to ...

Nella diffrazione ondosa da una fenditura rettangolare ho trovato questa sommatoria di seni: sin(1 x)+sin(2 x)+sin(3 x)+.......+sin(n x), dove con n intero si indica il numero di strisce in cui viene divisa l'altezza della fenditura. 1 x, 2 x, 3 x, ....n x, sono le fasi delle perturbazioni delle singole strisce. Successivamente la precedente sommatoria viene posta uguale a: [sin(n x/2) sin((n x + x)/2)]/sin(x/2) Qualcuno sa indicarmi i passaggi necessari per ottenere quest'ultimo ...