Analisi matematica di base
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Ciao a tutti!
Sto provando da un po' a svolgere il seguente limite ma non riesco ad arrivare a nessuna conclusione che sia giusta. Spero che qualcuno sappia aiutarmi! Grazie a tutti
$ lim_(n -> oo) sen(pien!) $
Mi sono bloccato su una dimostrazione del teorema di differenziabilità delle funzioni composte:
siano:
$f : RR^n supe Omega rarr RR^m $ , differenziabile in $x_0 in Omega$
$g: RR^m supe A : rarr RR^p$, differenziabile in $y_0 = f(x_0) in A$
Consideriamo:
$g(f(x_0+h)) = g(f(x_0) + df_(x_0)(h) + o(||h||)) = $
$= g(f(x_0)) + dg_f(x_0) (df_(x_0) + o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)=$
$ = g(f(x)) + (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) + dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $
in sostanza, aldilà della pesantezza della notazione, si ottiene:
$g(f(x_0+h)) - g(f(x_0)) - (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) = dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $
Provando che la parte a destra dell'identità tende a zero per $h rarr 0$si otterrebbe che la funzione composta è ...
Esercizio:
Sia $X\subseteq \RR$ non vuoto.
Provare che $X$ è limitato se e solo se, per ogni $\varepsilon >0$, si può ricoprire con un numero finito di intervalli aperti di semiampiezza $\varepsilon$, i.e. solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\text{ ed } \exists x_1,\ldots , x_N\in X:\quad X\subseteq \bigcup_{n=1}^N ]x_n-\varepsilon , x_n+\varepsilon[\; .
\]
Buongiorno a tutti.
Come da titolo mi trovo in difficoltà nell'individuare gli estremi di integrazione di integrali doppi che riguardano circonferenze, quindi in coordinate polari.
Ho questo problema: Il dominio è D={ y$>=$0 , x^2+y^2-x$<=$0 } e la funzione è: $\int int \sqrt(1-(x^2+y^2)) dxdy$
Disegnando il dominio di integrazione dovrebbe risultare una semicirconferenza nel primo e secondo quadrante, con centro in x=1/2, y=0 e raggio=1/2.
Ora, ho difficoltà a "calcolare" gli stremi ...
Un esercizio di Analisi I, tanto per restare in allenamento...
***
Esercizio:
1. Mostrare che la serie:
\[
\tag{S}
\sum \log \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)
\]
è a segni alterni e studiarne la convergenza col Criterio di Leibniz.
2. La serie (S) è assolutamente convergente?
3. Calcolare esplicitamente le somme parziali di (S).
4. Confrontare le somme parziali con il prodotto di Wallis:
\[
\frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4 \dots 2n\cdot 2n \cdots}{1\cdot 3\cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)\cdot ...
Salve a tutti, devo determinare il carattere della serie, al variare del parametro negativo \(\displaystyle \alpha \).
Serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha) \)
Ho diviso la serie in due parti:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) \)
Serie 1:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}} \)
Una serie armonica, conoscendo il carattere della serie ...
ragazzi quale criterio dovrei applicare per studiare la convergenza di questa serie?
$(x − 3)^n/(n^2)$ con $n$ da 1 a $+∞$
ho provato con il rapporto ma poi ottengo $(x-3)n^2/(n+1)^2$ e non so come continuare
Ciao a tutti.
Mi trovo in difficoltà nell'individuare la seguente tipologia di equazione differenziale:
$2t^2y'' - 3ty' + 3y = t^2 + 4$
E' un'equazione non omogenea, di secondo grado a "coefficienti non costanti".. Ho un problema di base e cioè proprio quel non costanti.
Erroneamente affrontavo tale problema come se le $t$ non ci fossero per ricavare il polinomio caratteristico, ma ho capito in seguito che sbagliavo.
Per quanto riguarda le analoghe equazioni a coefficienti costanti non ho ...
Io ho la serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$
Se considero $a_n$ l'espressione: $(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$
faccio il $\lim_{n \to \infty}a_n$, ottengo zero, di conseguenza vale la condizione necessaria per convergenza
Inoltre si nota abbastanza facilmente che la serie è a termini positivi..
Ricostruisco la parte principale (per il confronto asintotico)
Infatti applico il limite notevole $sin(x) = x + o(x)$ per $x$ tendente a zero.
Di conseguenza ho $1/(nsqrt(n)) + o(1/(nsqrt(n)))$
Ora che ho trovato ...
Salve a tutti, ho dubbi sui seguenti limiti:
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \)
Abbiamo una forma indeterminata \(\displaystyle \frac{\infty }{\infty } \).
Non so bene come sciogliere questa forma indeterminata.
Consigli?
Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x} \)
Ho risolto in questa maniera:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \) Th. di de l'Hôpital
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{cos x-\frac{1}{1+x^2}}{1-cos x}= \) Th. di de l'Hôpital
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-sin x+\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-\frac{sin x}{sin x}+\frac{\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= ...
Buongiorno,
affrontando lo studio dei sistemi dinamici mi sono imbattuto nelle equazioni autonome, cioè in quelle che non dipendono dal tempo del tipo $ dot(x)=X(x) $
Ora volevo disegnare il campo vettoriale $X(x_1,x_2)=(x_2,-x_1)$. Nelle dispense c'è scritto che si verifica subito che $ t \mapsto r_0((cos(-t+c)),(sin(-t+c))) $ , con $r_o \geq 0$ e $c in RR$ costanti arbitrarie sono linee integrali (ossia soluzioni massimali).
Il mio dubbio è come ottenere quelle due soluzioni in quella forma (con ...
Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(1-cos^3x)^2}{x*sinx*arcsinx}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cos^3x-1))^2}{x\frac{sinx}{x}x\frac{arcsinx}{x}x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1)}{x^2}x^2)^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to ...
Nella diffrazione ondosa da una fenditura rettangolare ho trovato questa sommatoria di seni:
sin(1 x)+sin(2 x)+sin(3 x)+.......+sin(n x),
dove con n intero si indica il numero di strisce in cui viene divisa l'altezza della fenditura.
1 x, 2 x, 3 x, ....n x, sono le fasi delle perturbazioni delle singole strisce.
Successivamente la precedente sommatoria viene posta uguale a:
[sin(n x/2) sin((n x + x)/2)]/sin(x/2)
Qualcuno sa indicarmi i passaggi necessari per ottenere quest'ultimo ...
Salve a tutti! Vi scrivo nonostante abbia cercato e trovato molti post sull'argomento, questo perchè arrivo sempre ad avere qualche dubbio.
Avrei bisogno di una spiegazione for dummies, il meno matematica e rigorosa possibile ma il più intuitiva e magari figurativa di cosa si intenda per intervallo di definizione della soluzione.
Vorrei sapere anche un modo di procedere corretto e per non incappare in errori da applicare a tutti i problemi di cauchy, quasi meccanico..poi una volta capito bene ...
Stiamo studiando le forme differenziali lineari e abbiamo dimostrato che quelle esatte sono sempre chiuse, mentre il viceversa non è sempre vero, solo che certe ipoteso sul dominio permettono di invertire l'implicazione, ad esempio l'essere semplicemente connesso. Quello che mi chiedo io è se i domini semplicemente connessi siano gli unici per i quali valga che ogni forma differenziale chiusa è anche esatta. Equivalentemente, se ho un aperto di $RR^n$ non semplicemente connesso, ...
Ciao a tutti, devo calcolare questo limite :
$lim x-> 00 (sqrt(n^2))arctg ( 1 / (n(1+x^2)))$ solo che non so come fare. Avevo pensato con taylor ma io ho studiato solo quando il limite tende a 0 e non so se esiste quando tende ad infinito. Consigli?
N.b. La radice è cubica, non so mettere l'indice
Io devo calcolare questo limite:
$\lim_{x \to \0}1 - (cos(x^2 + 2x))/(tan (2x^2 + x^3))$
Questa è una forma indeterminata $0/0$
Usando le regole pseudo-algebriche degli o-piccoli ottengo:
$cos(y) = 1 - (y^2/2) + o(y^2)$ per $y$ tendente a zero
$sin(y) = y + o(y)$ per $y$ tendente a zero
Quindi:
$ 1 - cos(x^2 + 2x) = 1 - [ 1 - (((x^2 + 2x)^2)/2) + (o(x^2 + 2x)^2)]$
$ (2x + o(x))^2 /2+ o((2x + o(x))^2)$
$(2x + o(x))^2$
1) domanda: in questo passaggio bisogna solo elevare al quadrato oppure ci sono altri procedimenti sottintesi? E quindi ottengo $(4x^2 + o(x^2))/2 + o(4x^2 + o(x^2))$ ?
Per il resto ...
Salve, se trattiamo funzioni in due variabili,potrebbe succedere che il dominio della derivata di una funzione comprenda un numero di punti maggiori rispetto al dominio della funzione stessa? Inoltre se la funzione è derivabile parzialmente in un punto, potrebbe essere che la funzione non sia continua in quel punto giusto? Ultima cosa:come si tratta la derivabilità parziale in insieme aperti? o meglio i punti sulla frontiera del dominio non vanno considerati a priori? Grazie.
We
Ho dimostrato un teorema in maniera autonoma e cercavo di capire se tutti i passaggi fossero abbastanza legali.
sia $IsubseteqRR$ un intervallo aperto e sia $f:I->R$ una funzione. Supponiamo inoltre che $f inC^2(I)$
$•$ se $f''(x)>0forallx inI$ allora $f$ è convessa in $I$
Inizio ponendo $g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) forallx inI$
In particolare $ginC^2(I)$ poiché è somma di funzioni derivabili due volte in $I$
Dunque il problema ...
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